В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми :...

Для того чтобы найти углы между данными прямыми в правильной треугольной призме ABCA1B1C1, где все рёбра равны 1, можно использовать векторный подход. Рассмотрим каждый случай:

а) Угол между CC1 и AB.

Вектор CC1 можно представить как вектор, направленный от точки C к точке C1. Поскольку C и C1 находятся друг над другом и длина ребра CC1 равна 1, вектор CC1 = (0, 0, 1).

Вектор AB можно найти, используя координаты точек A и B. В треугольной призме, где все стороны основания равны 1, и учитывая, что AB – одна из сторон основания, вектор AB можно взять, например, как (cos(0), sin(0), 0) - (cos(120°), sin(120°), 0) = (1 - (-1/2), 0 - (√3/2), 0) = (3/2, -√3/2, 0).

Для нахождения угла между векторами используем формулу для косинуса угла между векторами: cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|), где a·b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов.

Скалярное произведение CC1 и AB: (0, 0, 1)·(3/2, -√3/2, 0) = 0. Длины векторов: |CC1| = 1, |AB| = √((3/2)^2 + (-√3/2)^2) = √(9/4 + 3/4) = √3. Таким образом, cos(θ) = 0 / (1·√3) = 0, отсюда θ = 90°.

б) Угол между CC1 и AB1.

Так как призма правильная и все рёбра равны, вектор AB1 можно представить, например, как вектор, идущий от A к B1. Поскольку B1 находится над B, а A и B на одной высоте, вектор AB1 можно представить как сумму векторов AB и BB1, где BB1 = (0, 0, 1). Таким образом, AB1 = AB + BB1 = (3/2, -√3/2, 1).

Скалярное произведение CC1 и AB1: (0, 0, 1)·(3/2, -√3/2, 1) = 1. |AB1| = √((3/2)^2 + (-√3/2)^2 + 1^2) = √(3 + 1) = 2. cos(θ) = 1 / (1·2) = 1/2, отсюда θ = 60°.

в) Угол между AC и A1B1.

Вектор AC в основании, например, (1 - cos(120°), 0 - sin(120°), 0) = (3/2, √3/2, 0). Вектор A1B1 можно представить как A1B + B1. A1B = AB + AA1, где AA1 = (0, 0, 1). Таким образом, A1B1 = AB + (0, 0, 1) = (3/2, -√3/2, 1).

Скалярное произведение AC и A1B1: (3/2, √3/2, 0)·(3/2, -√3/2, 1) = 9/4 - 3/4 = 3/2. |AC| = √3. |A1B1| = 2. cos(θ) = (3/2) / (√3·2) = √3/4, θ ≈ 30°.

Таким образом, ответы: а) Угол между CC1 и AB равен 90°. б) Угол между CC1 и AB1 равен 60°. в) Угол между AC и A1B1 равен 30°.

а) Угол между прямыми CC1 и AB равен 90 градусов, так как CC1 - это высота правильной треугольной призмы, а AB - это одно из оснований, поэтому они перпендикулярны друг другу.

б) Угол между прямыми CC1 и AB1 также равен 90 градусов, так как CC1 - это высота правильной треугольной призмы, а AB1 - это другое основание, поэтому они также перпендикулярны друг другу.

в) Угол между прямыми AC и A1B1 равен 60 градусов, так как AC и A1B1 являются боковыми гранями правильной треугольной призмы, и угол между боковой гранью и основанием в правильной призме равен 60 градусов.