В правильной треугольной призме abca1b1c1 сторона основания равна 1, точка Е - середина a1c1. Найдите...

Разность векторов |ce-cb1| равна половине высоты правильной треугольной призмы.

Для решения задачи о разности векторов ( |\mathbf{CE} - \mathbf{CB1}| ) в правильной треугольной призме ( ABCA_1B_1C_1 ), где сторона основания равна 1 и точка ( E ) является серединой ( A_1C_1 ), нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим координаты всех точек:

   Основное основание ( ABC ) — правильный треугольник со стороной 1. Возьмем его координаты в плоскости ( XY ):

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(1, 0, 0) )
   • ( C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) )

   Верхнее основание ( A_1B_1C_1 ) параллельно нижнему и смещено вверх на высоту призмы (пусть высота призмы равна ( h )):

   • ( A_1(0, 0, h) )
   • ( B_1(1, 0, h) )
   • ( C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, h\right) )

   Точка ( E ) — середина отрезка ( A_1C_1 ):

   • ( E ) имеет координаты, равные средним арифметическим координат ( A_1 ) и ( C_1 ): ( E\left(\frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{h + h}{2}\right) = E\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, h\right) )

2. Запишем векторные координаты ( \mathbf{CE} ) и ( \mathbf{CB1} ):

   • ( \mathbf{CE} = E - C = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}, h - 0\right) = \left(-\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}, h\right) )
   • ( \mathbf{CB1} = B_1 - C = \left(1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, h - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, h\right) )

3. Вычислим разность векторов ( \mathbf{CE} - \mathbf{CB1} ):

   • ( \mathbf{CE} - \mathbf{CB1} = \left(-\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}, h\right) - \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, h\right) )
   • ( \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{4} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), h - h\right) = \left(-\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right) )

4. Найдем модуль этого вектора:

   • Модуль вектора ( \left(-\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right) ): ( \left| \left(-\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right) \right| = \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 0^2} )
   • ( \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} )

Таким образом, разность векторов ( |\mathbf{CE} - \mathbf{CB1}| ) равна ( \frac{\sqrt{3}}{2} ).

Для нахождения разности векторов |ce-cb1| нужно найти координаты векторов ce и cb1, а затем вычислить разность их координат.

Сначала найдем координаты вектора ce. Точка c имеет координаты (0,0,0), точка e - середина отрезка a1c1, значит координаты точки e будут (0.5,0,0). Тогда координаты вектора ce будут (0.5,0,0).

Теперь найдем координаты вектора cb1. Точка c имеет координаты (0,0,0), точка b1 - середина отрезка a1b1, значит координаты точки b1 будут (0,0.5,0). Тогда координаты вектора cb1 будут (0,0.5,0).

Вычислим разность векторов |ce-cb1| по формуле разности векторов: |ce-cb1| = sqrt((0.5-0)^2 + (0-0.5)^2 + (0-0)^2) = sqrt(0.25 + 0.25 + 0) = sqrt(0.5) ≈ 0.707

Итак, разность векторов |ce-cb1| равна примерно 0.707.