В правильной треугольной пирамиде угол между скрещивающимися ребрами равен.

Для того чтобы рассмотреть угол между скрещивающимися ребрами в правильной треугольной пирамиде, сначала напомним основные свойства этой фигуры.

Правильная треугольная пирамида (или правильный тетраэдр) – это пространственная фигура, у которой все грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра равны.

Теперь рассмотрим углы между скрещивающимися ребрами. В тетраэдре ребра могут быть либо смежными, либо скрещивающимися. Нам интересны именно скрещивающиеся ребра, например, возьмем ребра (AB) и (CD).

Для определения угла между скрещивающимися ребрами нужно воспользоваться понятием двугранного угла. Двугранный угол – это угол между двумя плоскостями. В случае тетраэдра, мы можем провести плоскости, проходящие через одно ребро и противоположное ребро.

1. Найти координаты вершин тетраэдра. Пусть (A(0,0,0)), (B(a,0,0)), (C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)) и (D\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)) – координаты вершин правильного тетраэдра.

2. Определить векторы ребер. Векторы ребер (AB) и (CD) будут: [ \vec{AB} = B - A = (a, 0, 0) ] [ \vec{CD} = D - C = \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right) ]

3. Найти угол между этими векторами. Угол между двумя векторами может быть найден с использованием скалярного произведения: [ \cos\theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} ] Сначала найдем скалярное произведение: [ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = a \cdot 0 + 0 \cdot \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) + 0 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = 0 ]

4. Определить длины векторов. Длины векторов: [ |\vec{AB}| = a ] [ |\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2 \cdot 3}{9} + \frac{a^2 \cdot 6}{9}} = \sqrt{\frac{9a^2}{9}} = a ]

5. Найти косинус угла. Подставляем в формулу: [ \cos\theta = \frac{0}{a \cdot a} = 0 ]

6. Вывод угла. [ \theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \text{ рад} = 90^\circ ]

Таким образом, угол между любыми скрещивающимися ребрами в правильной треугольной пирамиде (тетраэдре) равен (90^\circ).

В правильной треугольной пирамиде угол между скрещивающимися ребрами равен 60 градусов. Это следует из того, что каждое из трех боковых треугольников пирамиды является равносторонним, а значит, угол между скрещивающимися ребрами равен углу в вершине равностороннего треугольника, который равен 60 градусов.

Прямому углу, то есть 90 градусов.