В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см. Найдите:1) Высоту...

Для начала разберемся с основными элементами и параметрами правильной треугольной пирамиды. Поскольку основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 12 см, можно определить высоту этого треугольника по формуле:

[ h_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3} \text{ см} ]

1) Высота пирамиды: Высота пирамиды ( H ) находится из рассмотрения половины основания и бокового ребра как гипотенузы прямоугольного треугольника, где один катет — половина основания (6 см), а второй катет — искомая высота пирамиды. Используя теорему Пифагора для этого треугольника: [ 10^2 = 6^2 + H^2 ] [ H^2 = 100 - 36 = 64 ] [ H = 8 \text{ см} ]

2) Угол между боковым ребром и плоскостью основания: Угол ( \alpha ), который боковое ребро образует с плоскостью основания, можно найти через косинус: [ \cos(\alpha) = \frac{6}{10} = 0.6 ] [ \alpha \approx \cos^{-1}(0.6) \approx 53.13^\circ ]

3) Угол между боковой гранью и плоскостью основания: Боковая грань — это равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боковыми сторонами 10 см. Высота, опущенная из вершины на основание, проходит через центр основания и делит боковое ребро пополам. Используя теорему Пифагора для этого треугольника, найдем высоту боковой грани: [ h{\text{бок}}^2 = 10^2 - 6^2 = 64 ] [ h{\text{бок}} = 8 \text{ см} ] Теперь найдем угол ( \beta ) между боковой гранью и основанием: [ \tan(\beta) = \frac{8}{6\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9} ] [ \beta \approx \tan^{-1}(\frac{4\sqrt{3}}{9}) \approx 41.81^\circ ]

4) Площадь боковой поверхности пирамиды: Площадь одной боковой грани ( S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ см}^2 ) Так как боковых граней три, то общая площадь боковой поверхности: [ S{\text{боков}} = 3 \times 48 = 144 \text{ см}^2 ]

5) Площадь полной поверхности пирамиды: Площадь основания ( S{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 ) [ S{\text{полн}} = 36\sqrt{3} + 144 \approx 180.38 \text{ см}^2 ]

6) Объем пирамиды: [ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times H = \frac{1}{3} \times 36\sqrt{3} \times 8 \approx 96\sqrt{3} \approx 166.28 \text{ см}^3 ]

7, 8, 9) Площади сечений: Эти задачи требуют дополнительных пояснений и расчетов, особенно с учетом геометрии сечений. Они могут включать использование формул для площадей треугольников, параллелограммов или других фигур, в зависимости от типа сечения.

1) Высоту пирамиды можно найти, используя теорему Пифагора для правильного треугольника, образованного боковым ребром, половиной стороны основания и высотой пирамиды:

Высота^2 = (Половина стороны основания)^2 + (Боковое ребро)^2 Высота^2 = (12/2)^2 + 10^2 Высота^2 = 6^2 + 100 Высота^2 = 36 + 100 Высота^2 = 136 Высота = √136 ≈ 11.66 см

2) Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, равен углу между боковой гранью и основанием, то есть 90 градусов.

3) Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды также равен 90 градусов, так как пирамида правильная.

4) Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле: Площадь боковой поверхности = (Периметр основания Высоту пирамиды) / 2 Площадь боковой поверхности = (3 12 * 11.66) / 2 Площадь боковой поверхности ≈ 209.94 см^2

5) Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и боковой поверхности: Площадь полной поверхности = Площадь основания + Площадь боковой поверхности Площадь полной поверхности = (12^2 * √3) / 4 + 209.94 Площадь полной поверхности ≈ 122.94 + 209.94 ≈ 332.88 см^2

6) Объем пирамиды можно найти используя формулу: Объем = (Площадь основания Высоту пирамиды) / 3 Объем = (12^2 √3) / 4 * 11.66 / 3 Объем ≈ 207.06 см^3

7) Площадь сечения, проходящего через высоту основания и высоту пирамиды, равна площади прямоугольника со сторонами 12 см и 11.66 см: Площадь сечения = 12 * 11.66 ≈ 139.92 см^2

8) Площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды, параллельно основанию, равна площади прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см (половина стороны основания и боковое ребро): Площадь сечения = 6 * 10 = 60 см^2

9) Площадь сечения, проходящего через высоту основания и середину боковой стороны, равна площади прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 5 см (половина стороны основания и половина бокового ребра): Площадь сечения = (6 * 5) / 2 = 15 см^2