В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, боковое ребро наклонено к плоскости...

Апофема правильной треугольной пирамиды - это отрезок, проведенный от вершины пирамиды до середины стороны основания, перпендикулярно к основанию. Для нахождения апофемы данной пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром пирамиды. По теореме Пифагора:

(апофема)^2 = (половина стороны основания)^2 + (боковое ребро)^2

(апофема)^2 = (8/2)^2 + 8^2 (апофема)^2 = 16 + 64 (апофема)^2 = 80

апофема = √80 = 4√5

Таким образом, апофема этой пирамиды равна 4√5 см.

Для нахождения апофемы правильной треугольной пирамиды с данными условиями следует выполнить несколько шагов. Давайте разберем их последовательно.

Шаг 1: Определение длины высоты основания (H)

Основание правильной треугольной пирамиды является правильным треугольником. Для правильного треугольника со стороной ( a ) высота ( H ) может быть найдена по формуле: [ H = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

В нашем случае сторона основания ( a = 8 ) см, поэтому: [ H = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 2: Находим высоту пирамиды (h)

Высота пирамиды образует прямоугольный треугольник с апофемой и радиусом описанной окружности основания. В данном случае боковое ребро наклонено под углом 45 градусов к плоскости основания, что означает, что высота пирамиды (h) и проекция бокового ребра на плоскость основания (которая равна радиусу описанной окружности основания) равны.

Шаг 3: Радиус описанной окружности основания (R)

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной ( a ) определяется формулой: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

Для нашего треугольника: [ R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \text{ см} ]

Шаг 4: Используем угол наклона

Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45 градусов, высота пирамиды (h) равна радиусу описанной окружности: [ h = R = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \text{ см} ]

Шаг 5: Определение апофемы (l)

Апофема пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, где катеты - это высота пирамиды (h) и радиус описанной окружности основания (R). Поскольку ( h = R ), и они равны ( \frac{8 \sqrt{3}}{3} ), апофема ( l ) будет: [ l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{\left(\frac{8 \sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{8 \sqrt{3}}{3}\right)^2} ]

Подставляем значения и упрощаем: [ l = \sqrt{2 \left(\frac{8 \sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \frac{64 \cdot 3}{9}} = \sqrt{2 \cdot \frac{192}{9}} = \sqrt{\frac{384}{9}} = \sqrt{\frac{128}{3}} ]

Приводим выражение к окончательному виду: [ l = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8 \text{ см} ]

Таким образом, апофема правильной треугольной пирамиды составляет 8 см.