Для нахождения апофемы правильной треугольной пирамиды с данными условиями следует выполнить несколько шагов. Давайте разберем их последовательно.
Шаг 1: Определение длины высоты основания
Основание правильной треугольной пирамиды является правильным треугольником. Для правильного треугольника со стороной высота может быть найдена по формуле:
В нашем случае сторона основания см, поэтому:
Шаг 2: Находим высоту пирамиды
Высота пирамиды образует прямоугольный треугольник с апофемой и радиусом описанной окружности основания. В данном случае боковое ребро наклонено под углом 45 градусов к плоскости основания, что означает, что высота пирамиды и проекция бокового ребра на плоскость основания равны.
Шаг 3: Радиус описанной окружности основания
Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной определяется формулой:
Для нашего треугольника:
Шаг 4: Используем угол наклона
Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45 градусов, высота пирамиды равна радиусу описанной окружности:
Шаг 5: Определение апофемы
Апофема пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, где катеты - это высота пирамиды и радиус описанной окружности основания . Поскольку , и они равны , апофема будет:
Подставляем значения и упрощаем:
Приводим выражение к окончательному виду:
Таким образом, апофема правильной треугольной пирамиды составляет 8 см.