В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, боковое ребро наклонено к плоскости...

Апофема правильной треугольной пирамиды - это отрезок, проведенный от вершины пирамиды до середины стороны основания, перпендикулярно к основанию. Для нахождения апофемы данной пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром пирамиды. По теореме Пифагора:

$апофема$^2 = $половинастороныоснования$^2 + $боковоеребро$^2

$апофема$^2 = $8/2$^2 + 8^2 $апофема$^2 = 16 + 64 $апофема$^2 = 80

апофема = √80 = 4√5

Таким образом, апофема этой пирамиды равна 4√5 см.

Для нахождения апофемы правильной треугольной пирамиды с данными условиями следует выполнить несколько шагов. Давайте разберем их последовательно.

Шаг 1: Определение длины высоты основания $H$

Основание правильной треугольной пирамиды является правильным треугольником. Для правильного треугольника со стороной $a$ высота $H$ может быть найдена по формуле: $H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона основания $a=8$ см, поэтому: $H=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ см}$

Шаг 2: Находим высоту пирамиды $h$

Высота пирамиды образует прямоугольный треугольник с апофемой и радиусом описанной окружности основания. В данном случае боковое ребро наклонено под углом 45 градусов к плоскости основания, что означает, что высота пирамиды $h$ и проекция бокового ребра на плоскость основания $котораяравнарадиусуописаннойокружностиоснования$ равны.

Шаг 3: Радиус описанной окружности основания $R$

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной $a$ определяется формулой: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Для нашего треугольника: $R=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}$

Шаг 4: Используем угол наклона

Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45 градусов, высота пирамиды $h$ равна радиусу описанной окружности: $h=R=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}$

Шаг 5: Определение апофемы $l$

Апофема пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, где катеты - это высота пирамиды $h$ и радиус описанной окружности основания $R$. Поскольку $h=R$, и они равны $\frac{8\sqrt{3}}{3}$, апофема $l$ будет: $l=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)}^2}$

Подставляем значения и упрощаем: $l=\sqrt{2{\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{2\cdot \frac{64\cdot 3}{9}}=\sqrt{2\cdot \frac{192}{9}}=\sqrt{\frac{384}{9}}=\sqrt{\frac{128}{3}}$

Приводим выражение к окончательному виду: $l=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\text{ см}$

Таким образом, апофема правильной треугольной пирамиды составляет 8 см.