В правильной треугольной пирамиде DABC боковые ребра DA,DB и DC взаимно перпендикулярны. Вершина D является центром сферы , на поверхности которой лежат точки A,B, и C. Найдите площадь сферы, если ее высота равна 2*sqrt(3) см.
В правильной треугольной пирамиде DABC боковые ребра DA,DB и DC взаимно перпендикулярны. Вершина D является центром сферы , на поверхности которой лежат точки A,B, и C. Найдите площадь сферы, если ее высота равна 2*sqrt(3) см.
Площадь сферы равна 12π кв.см.
Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус сферы, так как площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πr², где r - радиус сферы.
По условию задачи, вершина D является центром сферы, на поверхности которой лежат точки A, B и C. Так как боковые ребра DA, DB и DC взаимно перпендикулярны, то они являются радиусами сферы.
Так как треугольная пирамида DABC является правильной, то ее боковые ребра равны между собой. Поэтому, длина каждого из этих ребер равна 2*sqrt(3) см.
Таким образом, радиус сферы равен половине длины любого из боковых ребер, то есть r = 2*sqrt(3) / 2 = sqrt(3) см.
Подставляя значение радиуса в формулу площади сферы, получаем: S = 4π(sqrt(3))² = 4π*3 = 12π см².
Итак, площадь сферы равна 12π см².
В данной задаче у нас есть правильная треугольная пирамида DABC, где боковые ребра DA, DB и DC взаимно перпендикулярны. Это означает, что вершина D является вершиной прямоугольного параллелепипеда, и ребра DA, DB и DC являются его ребрами. Также известно, что вершина D является центром сферы, на поверхности которой лежат точки A, B и C.
Давайте разберем задачу:
Расположение точек A, B и C: Поскольку DA, DB и DC взаимно перпендикулярны, точки A, B и C можно представить как точки на осях координат, если D находится в начале координат. Пусть DA = a, DB = b и DC = c. Тогда координаты точек будут: A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c).
Центр и радиус сферы: Вершина D является центром сферы, а радиус сферы — это расстояние от точки D до любой из точек A, B или C. Расстояние от D (0, 0, 0) до A (a, 0, 0) равно a, аналогично до B и C.
Высота сферы: Высота сферы равна 2√3 см. Высота сферы — это диаметр окружности, пересекающий сферу через центр, перпендикулярно к плоскости основания пирамиды. В данном случае, поскольку D является центром сферы, высота равна диаметру сферы.
Радиус сферы: Поскольку высота сферы равна диаметру, радиус сферы ( R ) равен половине высоты, то есть: [ R = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см} ]
Площадь поверхности сферы: Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: [ S = 4\pi R^2 ] Подставим найденное значение радиуса: [ S = 4\pi (\sqrt{3})^2 = 4\pi \times 3 = 12\pi \text{ кв. см} ]
Таким образом, площадь поверхности сферы составляет ( 12\pi ) квадратных сантиметров.
