В правильной треугольной пирамиде апофема равна 6 см, наклонена к плоскости основания под углом 60*....

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно рассмотреть несколько аспектов: площадь основания и площадь боковых граней.

1. Площадь основания

Основание правильной треугольной пирамиды — это равносторонний треугольник. Чтобы найти его площадь, нам нужно сначала узнать длину стороны треугольника. Для этого воспользуемся апофемой (h) и углом наклона (α) между апофемой и плоскостью основания.

Из треугольника, образованного апофемой, высотой и половиной стороны основания, мы можем использовать тригонометрию:

[ h = \frac{s}{2} \cdot \tan(60^\circ) ]

где ( s ) — длина стороны основания. Из этого выражения можем выразить ( s ):

[ s = \frac{2h}{\tan(60^\circ)} ]

Так как ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ):

[ s = \frac{2h}{\sqrt{3}} ]

Подставим ( h = 6 \, \text{см} ):

[ s = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \, \text{см} ]

Теперь, чтобы найти площадь основания ( S_{\text{осн}} ):

[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 ]

Подставим значение ( s ):

[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 48 = 12\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

2. Площадь боковых граней

Каждая боковая грань пирамиды также является равносторонним треугольником с основанием ( s ) и высотой, равной длине апофемы (h).

Площадь одной боковой грани ( S_{\text{бок}} ):

[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot s \cdot h ]

Подставим найденные значения ( s = 4\sqrt{3} ) и ( h = 6 ):

[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 6 = 12\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Так как у нас три боковые грани, общая площадь боковых граней:

[ S{\text{бок. общ}} = 3 \cdot S{\text{бок}} = 3 \cdot 12\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

3. Общая площадь полной поверхности

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды, сложив площадь основания и общую площадь боковых граней:

[ S{\text{полная}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок. общ}} = 12\sqrt{3} + 36\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Ответ

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна ( 48\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).

Для решения задачи о площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды, разберем её геометрическую структуру и используем данные, приведенные в условии.

Дано:

1. Апофема пирамиды (перпендикуляр от вершины боковой грани к середине стороны основания) равна ( l = 6 ) см.
2. Апофема наклонена к плоскости основания под углом ( 60^\circ ).
3. Основание пирамиды — правильный треугольник.

Требуется найти:

Полную площадь поверхности пирамиды, которая включает:

• Площадь основания (правильного треугольника),
• Площади всех боковых граней (равнобедренных треугольников).

Решение:

1. Найдём сторону основания

Апофема ( l ) наклонена к плоскости основания под углом ( 60^\circ ). Это значит, что ( l ) является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором катет, перпендикулярный основанию, равен высоте пирамиды ( h ), а проекция апофемы на плоскость основания равна радиусу вписанной окружности правильного треугольника основания ( r ).

По свойствам прямоугольного треугольника: [ r = l \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \, \text{см}. ]

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности ( r ) выражается через сторону треугольника ( a ) по формуле: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6}. ]

Подставим ( r = 3 ): [ \frac{a \sqrt{3}}{6} = 3. ]

Умножим обе части на 6: [ a \sqrt{3} = 18. ]

Разделим на ( \sqrt{3} ): [ a = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6 \sqrt{3} \, \text{см}. ]

2. Найдём высоту пирамиды ( h )

Высота ( h ) пирамиды связана с апофемой ( l ) через угол наклона: [ h = l \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \, \text{см}. ]

3. Найдём площадь основания

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: [ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}. ]

Подставим ( a = 6 \sqrt{3} ): [ S_{\text{осн}} = \frac{(6 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{108 \sqrt{3}}{4} = 27 \sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

4. Найдём площадь боковых граней

Боковые грани пирамиды — три равнобедренных треугольника. Основание каждого из них равно стороне основания ( a = 6 \sqrt{3} ), а высота равна апофеме ( l = 6 ).

Площадь одного треугольника: [ S_{\text{грань}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 6 = 18 \sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

Площадь всех трёх боковых граней: [ S{\text{бок}} = 3 \cdot S{\text{грань}} = 3 \cdot 18 \sqrt{3} = 54 \sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

5. Найдём полную площадь поверхности

Полная площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковых граней: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}}. ]

Подставим значения: [ S_{\text{полн}} = 27 \sqrt{3} + 54 \sqrt{3} = 81 \sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды равна ( \mathbf{81 \sqrt{3} \, \text{см}^2} ).