В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 4 а длина бокового ребра 8,5 найти высоту

Для решения задачи найдем высоту правильной шестиугольной пирамиды.

Шаг 1. Разберемся с геометрией правильной шестиугольной пирамиды

1. Основание пирамиды — правильный шестиугольник, у которого все стороны равны. По условию, длина стороны основания равна 4.
2. Боковые ребра пирамиды равны и имеют длину 8,5.
3. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины (верхней точки пирамиды) на плоскость основания.

Шаг 2. Найдем центр основания и радиус описанной окружности

В правильном шестиугольнике центр основания совпадает с центром окружности, описанной вокруг шестиугольника. Радиус этой окружности ( R ) равен стороне правильного шестиугольника, то есть: [ R = 4. ]

Шаг 3. Построим треугольник для вычисления высоты пирамиды

Рассмотрим треугольник, который образован:

• высотой пирамиды ( h ),
• радиусом описанной окружности основания ( R = 4 ),
• боковым ребром ( l = 8,5 ).

Этот треугольник является прямоугольным, так как высота пирамиды ( h ) перпендикулярна плоскости основания. Применим теорему Пифагора: [ l^2 = h^2 + R^2. ]

Подставим известные значения: [ 8,5^2 = h^2 + 4^2. ]

Выполним вычисления: [ 72,25 = h^2 + 16. ]

Найдем ( h^2 ): [ h^2 = 72,25 - 16 = 56,25. ]

Найдем ( h ), извлекая квадратный корень: [ h = \sqrt{56,25} = 7,5. ]

Ответ:

Высота пирамиды равна ( 7,5 ).

Для нахождения высоты правильной шестиугольной пирамиды, можно использовать формулу:

[ h = \sqrt{l^2 - r^2} ]

где ( l ) — длина бокового ребра, а ( r ) — радиус вписанной окружности основания.

Сначала найдем радиус вписанной окружности шестиугольника со стороной ( a ):

[ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

Подставляем ( a = 4 ):

[ r = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} ]

Теперь подставим значения ( l = 8.5 ) и ( r = 2\sqrt{3} ) в формулу для высоты:

[ h = \sqrt{8.5^2 - (2\sqrt{3})^2} ]

Посчитаем:

1. ( 8.5^2 = 72.25 )
2. ( (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 )

Теперь подставим в формулу:

[ h = \sqrt{72.25 - 12} = \sqrt{60.25} = 7.75 ]

Таким образом, высота пирамиды составляет 7.75.

В правильной шестиугольной пирамиде основание представляет собой правильный шестиугольник, а боковые ребра равны между собой. Чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно использовать свойства треугольников, образованных при проведении высоты из вершины пирамиды на основание.

1. Определим параметры основания: Сторона основания шестиугольника равна ( a = 4 ). Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 ] Подставим значение ( a ): [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3} ]

2. Найдем радиус описанной окружности: Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (расстояние от центра до вершины) можно вычислить по формуле: [ R = a ] Таким образом, ( R = 4 ).

3. Найдем расстояние от центра основания до середины стороны: Это расстояние (обозначим его как ( r )) можно найти, используя свойства равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и стороной шестиугольника. Оно равно: [ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} ]

4. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, боковым ребром и отрезком от вершины пирамиды до середины стороны основания: В этом треугольнике:

   • Боковое ребро ( L = 8.5 )
   • Высота ( h ) (которую мы ищем)
   • Половина стороны основания ( r = 2\sqrt{3} )

   По теореме Пифагора мы имеем: [ L^2 = h^2 + r^2 ] Подставим известные значения: [ (8.5)^2 = h^2 + (2\sqrt{3})^2 ] Посчитаем: [ 72.25 = h^2 + 12 ] Переносим 12 влево: [ h^2 = 72.25 - 12 = 60.25 ] Теперь вычислим ( h ): [ h = \sqrt{60.25} = 7.75 ]

Таким образом, высота правильной шестиугольной пирамиды равна ( 7.75 ) единиц.