В правильной четырехугольной усеченной пирамиде основания равны 10 и 6 а площадь диагонального сечения...

Для решения задачи необходимо рассмотреть правильную четырехугольную усеченную пирамиду, где основания представляют собой квадраты со сторонами 10 и 6. Задача требует нахождения боковой поверхности пирамиды при условии, что площадь диагонального сечения равна (8\sqrt{10}).

Шаг 1: Найти высоту пирамиды

Диагональное сечение правильной четырехугольной усеченной пирамиды представляет собой трапецию. В данном случае, это сечение проходит через диагонали квадратов основания пирамиды. Диагонали квадратов с длинами сторон 10 и 6 равны:

• (d_1 = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}),
• (d_2 = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}).

Диагональное сечение является трапецией с основаниями (10\sqrt{2}) и (6\sqrt{2}) и высотой (h). Площадь трапеции: [ S = \frac{(d_1 + d_2) \cdot h}{2} = \frac{(10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) \cdot h}{2} = \frac{16\sqrt{2} \cdot h}{2} = 8\sqrt{2} \cdot h. ] По условию, площадь диагонального сечения равна (8\sqrt{10}). Тогда: [ 8\sqrt{2} \cdot h = 8\sqrt{10}. ] Отсюда находим высоту (h): [ h = \frac{8\sqrt{10}}{8\sqrt{2}} = \sqrt{5}. ]

Шаг 2: Найти боковую поверхность пирамиды

Для нахождения боковой поверхности пирамиды сначала найдём апофему (наклонное ребро боковой грани) пирамиды. Апофема связана с высотой и радиусами окружностей, вписанных в основания.

Разница между радиусами окружностей оснований равна половине разности сторон: [ R_1 - R_2 = \frac{10 - 6}{2} = 2. ]

Таким образом, апофема (l) пирамиды находится из треугольника, где одна сторона равна разнице радиусов, а другая — высоте пирамиды: [ l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2} = \sqrt{5 + 4} = 3. ]

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех трапеций. Площадь одной такой трапеции: [ S_{\text{trap}} = \frac{(10 + 6) \cdot l}{2} = 8 \cdot 3 = 24. ]

Общая площадь боковой поверхности: [ S{\text{бок}} = 4 \cdot S{\text{trap}} = 4 \cdot 24 = 96. ]

Таким образом, боковая поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 96.

Боковая поверхность пирамиды равна 24.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для площади диагонального сечения правильной четырехугольной усеченной пирамиды:

S = (a + b) * l / 2,

где S - площадь диагонального сечения, a и b - длины сторон оснований, l - длина диагонали сечения.

Подставляем известные значения:

8√10 = (10 + 6) * l / 2, 8√10 = 16l / 2, 8√10 = 8l, √10 = l.

Теперь найдем высоту пирамиды, используя теорему Пифагора в треугольнике, образованном половиной диагонали сечения, радиусом вписанной окружности и высотой пирамиды:

l^2 = r^2 + h^2, 10^2 = (10/2)^2 + h^2, 100 = 25 + h^2, h^2 = 75, h = 5√3.

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды, используя формулу для нахождения площади боковой поверхности правильной пирамиды:

Sбок = P * h / 2,

где P - периметр основания, h - высота пирамиды.

P = 4 (10 + 6) = 64, Sбок = 64 5√3 / 2 = 160√3.

Таким образом, боковая поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 160√3.