В правильной четырёхугольной пирамиде высота 3 см,боковое ребро 5см.Найти объём пирамиды.

Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой 3 см и боковым ребром 5 см, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение параметров основания: Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основание — квадрат. Обозначим сторону квадрата за ( a ).

2. Использование теоремы Пифагора для поиска стороны основания: Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и апофемой (боковым ребром). В этом треугольнике:

   • Высота пирамиды ( h = 3 ) см.
   • Апофема (боковое ребро) ( l = 5 ) см.
   • Половина диагонали основания, которую можно обозначить как ( \frac{d}{2} ).

   Так как основание — квадрат со стороной ( a ), его диагональ выражается через сторону как ( d = a\sqrt{2} ). Половина диагонали тогда ( \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} ).

3. Применение теоремы Пифагора: В треугольнике, где высота, половина диагонали основания и апофема являются сторонами, теорема Пифагора даёт: [ l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 ] Подставляем известные значения: [ 5^2 = 3^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 ] [ 25 = 9 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} ] [ 25 = 9 + \frac{a^2}{2} ] [ 16 = \frac{a^2}{2} ] [ a^2 = 32 ] [ a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, \text{см} ]

4. Нахождение площади основания: Площадь квадрата со стороной ( a = 4\sqrt{2} ) см: [ S_{\text{основания}} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32 \, \text{см}^2 ]

5. Вычисление объёма пирамиды: Объём пирамиды ( V ) находится по формуле: [ V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h ] Подставляем значения: [ V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 96 = 32 \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой 3 см и боковым ребром 5 см равен ( 32 \, \text{см}^3 ).

Для нахождения объёма правильной четырёхугольной пирамиды можно воспользоваться формулой V = (1/3) S h, где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Так как у нас правильная четырёхугольная пирамида, основание которой - квадрат, то её площадь можно найти по формуле S = a^2, где а - длина стороны квадрата.

Для нахождения объёма пирамиды нам необходимо знать площадь основания. Так как у нас боковое ребро равно 5 см, то сторона квадрата основания равна 5 см. Значит, площадь основания S = 5^2 = 25 см^2.

Теперь можем найти объём пирамиды: V = (1/3) 25 3 = 25 см^3.

Ответ: объём пирамиды равен 25 кубическим сантиметрам.