В правильной четырехугольной пирамиде стороной основания 8 м боковая грань наклонена к плоскости основания...

а) Для нахождения высоты пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора. Разделим боковую грань на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катет 4 м (половина стороны основания) и гипотенузу 8 м. Таким образом, каждый треугольник будет иметь высоту 4√3 м. Поскольку пирамида состоит из двух таких треугольников, высота будет равна 2*4√3 = 8√3 м.

б) Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле S = 1/2 периметр основания высота боковой грани. Периметр основания равен 4 8 = 32 м, а высота боковой грани равна 8√3 м. Подставим значения в формулу: S = 1/2 32 * 8√3 = 128√3 м².

а) Для начала найдем высоту правильной четырехугольной пирамиды. Пусть ( S ) - центр основания пирамиды, ( A ) - одна из вершин основания, и ( P ) - вершина пирамиды. Так как основание пирамиды - квадрат со стороной 8 м, то диагональ основания будет равна ( d = 8\sqrt{2} ) м (по теореме Пифагора). Поскольку ( S ) является центром квадрата, расстояние от ( S ) до ( A ) равно половине диагонали, то есть ( SA = 4\sqrt{2} ) м.

Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Рассмотрим треугольник ( SPA ), где ( SP ) - высота пирамиды, а ( PA ) - боковое ребро пирамиды. Угол ( SPA ) равен 60 градусов. Так как ( SA ) известно и равно ( 4\sqrt{2} ) м, можно использовать тригонометрическую функцию тангенс угла 60 градусов:

[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{SP}{SA} \Rightarrow SP = SA \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6} \text{ м}. ]

б) Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность состоит из четырех равных треугольников. Каждый такой треугольник имеет основание (сторона квадрата) 8 м и высоту, проведенную из вершины пирамиды ( P ) на основание ( A ). Эта высота является высотой треугольника ( SPA ), который мы рассматривали.

Для нахождения длины бокового ребра ( PA ) (гипотенузы треугольника ( SPA )) используем теорему Пифагора:

[ PA^2 = SP^2 + SA^2 = (4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 96 + 32 = 128 \Rightarrow PA = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ м}. ]

Теперь найдем площадь одного треугольника:

[ S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \text{ кв.м}. ]

Площадь боковой поверхности (четыре таких треугольника):

[ S_{бок.пов.} = 4 \cdot 32\sqrt{2} = 128\sqrt{2} \text{ кв.м}. ]

Итак, высота пирамиды равна ( 4\sqrt{6} ) м, а площадь боковой поверхности равна ( 128\sqrt{2} ) кв.м.