В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6см и длиной бокового ребра √50 см. Найти cos угла наклона бокового ребра к плоскости основания и площадь боковой поверхности .
В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6см и длиной бокового ребра √50 см. Найти cos угла наклона бокового ребра к плоскости основания и площадь боковой поверхности .
Для нахождения cos угла наклона бокового ребра к плоскости основания в правильной четырёхугольной пирамиде можно воспользоваться формулой cos(угол) = adjacent/hypotenuse, где adjacent - прилежащий к углу катет, а hypotenuse - гипотенуза.
В данном случае боковое ребро пирамиды является гипотенузой, а половина длины основания - прилежащим к углу катетом. Таким образом, cos угла наклона бокового ребра к плоскости основания равен cos(угол) = (6/2) / √50 = 3/√50 = 3/5.
Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды можно воспользоваться формулой S = 0.5 периметр основания длина бокового ребра. Периметр основания прямоугольной пирамиды равен 4 сторона основания, то есть 4 6 = 24 см. Тогда площадь боковой поверхности будет равна S = 0.5 24 √50 = 12 * √50 см^2.
Чтобы найти косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания, а также площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, нужно выполнить несколько шагов.
Определение элементов пирамиды:
Косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания:
Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием в виде квадрата. Пусть O будет центром основания (точка пересечения диагоналей квадрата), а V — вершиной пирамиды.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Длина диагонали квадрата: [ d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} ]
Половина диагонали (расстояние от центра основания до вершины квадрата): [ \frac{d}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} ]
Поскольку боковое ребро — это отрезок от вершины пирамиды до любой вершины основания, рассмотрим треугольник VOM, где M — вершина квадрата.
В этом треугольнике:
Теперь найдем высоту пирамиды (VO). Треугольник VOM является прямоугольным с гипотенузой VM и катетами VO и OM: [ VO^2 + OM^2 = VM^2 ] Подставляем значения: [ VO^2 + (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{50})^2 ] [ VO^2 + 18 = 50 ] [ VO^2 = 32 ] [ VO = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} ]
Теперь найдём косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания (угол VOM): [ \cos \theta = \frac{OM}{VM} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{50}} ] Упростим дробь: [ \cos \theta = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{5} ]
Таким образом: [ \cos \theta = \frac{3}{5} ]
Площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды состоит из четырёх равнобедренных треугольников. Найдём площадь одного такого треугольника.
Высота треугольника (h) опускается из вершины V на сторону основания квадрата: [ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} ] где: [ b = \sqrt{50} \text{ см, } \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} ]
Высота треугольника: [ h = \sqrt{(\sqrt{50})^2 - 3^2} = \sqrt{50 - 9} = \sqrt{41} \text{ см} ]
Площадь одного треугольника: [ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{41} = 3\sqrt{41} \text{ см}^2 ]
Площадь боковой поверхности (4 треугольника): [ S{\text{боковой}} = 4 \cdot S{\text{треугольника}} = 4 \cdot 3\sqrt{41} = 12\sqrt{41} \text{ см}^2 ]
Таким образом, косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания равен ( \frac{3}{5} ), а площадь боковой поверхности пирамиды составляет ( 12\sqrt{41} ) квадратных сантиметров.
