В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания равна 4, а боковое ребро...

Для решения задачи сначала нужно определить ключевые элементы пирамиды и найти искомое расстояние.

1. Определение параметров пирамиды:

   • Основание пирамиды (ABCD) — квадрат со стороной 4.
   • Боковое ребро (SA = SB = SC = SD = 2\sqrt{3}).

2. Координаты точек:

   • Можно расположить основание в плоскости (xy), выбрав (A = (0, 0, 0)), (B = (4, 0, 0)), (C = (4, 4, 0)), (D = (0, 4, 0)).
   • Вершину (S) расположим так, чтобы она находилась над центром квадрата основания. Центр основания (O) имеет координаты ((2, 2, 0)). Поскольку (SO = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 2^2} = \sqrt{12 - 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}), то (S) имеет координаты ((2, 2, 2\sqrt{2})).

3. Определение точки M:

   • Точка (M) — середина ребра (SC), ее координаты будут (\left(\frac{4 + 2}{2}, \frac{4 + 2}{2}, \frac{0 + 2\sqrt{2}}{2}\right) = (3, 3, \sqrt{2})).

4. Уравнение плоскости ABM:

   • Для нахождения уравнения плоскости через точки (A(0, 0, 0)), (B(4, 0, 0)), (M(3, 3, \sqrt{2})) используем метод векторного нормального множителя.
   • Найдем векторы (\overrightarrow{AB} = (4, 0, 0)) и (\overrightarrow{AM} = (3, 3, \sqrt{2})).
   • Их векторное произведение (\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM}) будет нормальным вектором плоскости: [ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 4 & 0 & 0 \ 3 & 3 & \sqrt{2} \end{vmatrix} = (0, -4\sqrt{2}, 12) ]
   • Уравнение плоскости можно записать как (0(x - 0) - 4\sqrt{2}(y - 0) + 12(z - 0) = 0), или (4\sqrt{2}y - 12z = 0).

5. Расстояние от точки C до плоскости ABM:

   • Координаты точки (C): ((4, 4, 0)).
   • Расстояние от точки до плоскости с уравнением (ax + by + cz + d = 0) вычисляется по формуле: [ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} ]
   • Подставим в уравнение: (a = 0), (b = 4\sqrt{2}), (c = -12), (d = 0), ((x_1, y_1, z_1) = (4, 4, 0)): [ d = \frac{|0 \cdot 4 + 4\sqrt{2} \cdot 4 - 12 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + (4\sqrt{2})^2 + (-12)^2}} = \frac{|16\sqrt{2}|}{\sqrt{32 + 144}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{176}} = \frac{16\sqrt{2}}{4\sqrt{11}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{11}} ]
   • Упростим: (\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \frac{4\sqrt{22}}{11}).

Таким образом, расстояние от точки (C) до плоскости (ABM) равно (\frac{4\sqrt{22}}{11}).

Расстояние от точки C до плоскости ABM равно 2.

Для нахождения расстояния от точки C до плоскости ABM, нужно найти высоту пирамиды, опущенную из точки C на плоскость ABM.

Поскольку пирамида SABCD - правильная, то высота, опущенная из вершины S на плоскость ABCD, будет проходить через центр основания ABCD и делить пирамиду на две равные части. Таким образом, точка M является серединой ребра SC и лежит на высоте, опущенной из вершины S на плоскость ABCD.

Так как сторона основания равна 4, то длина диагонали квадрата ABCD равна 4√2. Поскольку M - середина ребра SC, то длина отрезка SM равна половине длины диагонали квадрата ABCD, то есть 2√2.

Теперь нам нужно найти расстояние от точки C до плоскости ABM. Поскольку треугольник SMC является прямоугольным треугольником (по свойствам правильной пирамиды), где угол MCS прямой, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

CM^2 = SC^2 - SM^2 CM^2 = (2√3)^2 - (2√2)^2 CM^2 = 12 - 8 CM^2 = 4 CM = 2

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости ABM равно 2.