В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD с вершиной Р сторона основания равна 3, а высота 2. Найдите...

Чтобы найти расстояние от вершины ( A ) до грани ( PCD ) в правильной четырехугольной пирамиде ( PABCD ), нам нужно использовать несколько геометрических понятий и теорем.

Шаги решения:

1. Определим свойства пирамиды:

   • Пирамида ( PABCD ) — правильная, то есть её основание ( ABCD ) является квадратом.
   • Сторона основания ( AB = BC = CD = DA = 3 ).
   • Высота пирамиды ( PH = 2 ), где ( H ) — центр основания, так как пирамида правильная.

2. Найдём координаты точки ( A ):

   • Пусть центр основания ( H ) будет в начале координат, то есть ( H(0, 0, 0) ).
   • Тогда вершины основания будут:
     • ( A(-1.5, -1.5, 0) )
     • ( B(1.5, -1.5, 0) )
     • ( C(1.5, 1.5, 0) )
     • ( D(-1.5, 1.5, 0) )

3. Найдём координаты точки ( P ):

   • Так как высота пирамиды проходит через центр основания, ( P ) будет иметь координаты ( (0, 0, 2) ).

4. Определим уравнение плоскости ( PCD ):

   • Векторы, лежащие в этой плоскости:
     • ( \overrightarrow{PC} = (1.5, 1.5, -2) )
     • ( \overrightarrow{PD} = (-1.5, 1.5, -2) )
   • Векторное произведение этих векторов даёт нормаль к плоскости: [ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{PC} \times \overrightarrow{PD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1.5 & 1.5 & -2 \ -1.5 & 1.5 & -2 \ \end{vmatrix} = (0, 6, 4.5) ]
   • Уравнение плоскости ( PCD ): ( 0x + 6y + 4.5z = d ).
   • Подставим координаты точки ( P(0, 0, 2) ) в уравнение плоскости: [ 6 \times 0 + 4.5 \times 2 = d \implies d = 9 ]
   • Таким образом, уравнение плоскости: ( 6y + 4.5z = 9 ).

5. Найдём расстояние от точки ( A(-1.5, -1.5, 0) ) до плоскости ( 6y + 4.5z = 9 ):

   • Формула для расстояния от точки до плоскости ( Ax + By + Cz + D = 0 ) имеет вид: [ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ]
   • Подставим значения в формулу: [ d = \frac{|6 \times (-1.5) + 4.5 \times 0 - 9|}{\sqrt{0^2 + 6^2 + 4.5^2}} ] [ d = \frac{|-9 - 9|}{\sqrt{0 + 36 + 20.25}} = \frac{18}{\sqrt{56.25}} = \frac{18}{7.5} = 2.4 ]

Таким образом, расстояние от вершины ( A ) до грани ( PCD ) равно ( 2.4 ).

Расстояние от вершины А до грани РСD равно 2.

Для нахождения расстояния от вершины А до грани РСD воспользуемся высотой пирамиды.

Так как пирамида правильная, то высота, проведенная из вершины пирамиды перпендикулярно основанию, будет проходить через центр основания. Таким образом, треугольник АРС является прямоугольным, где АР - высота, РС - половина стороны основания, а АС - радиус вписанной в основание окружности.

Из условия задачи известно, что сторона основания равна 3, а высота равна 2. Тогда радиус вписанной окружности будет равен 1.5 (половина стороны основания), а высота АР равна 2.

Применим теорему Пифагора к треугольнику АРС: (АС)^2 = (АР)^2 + (РС)^2 (1.5)^2 = 2^2 + (РС)^2 2.25 = 4 + (РС)^2 (РС)^2 = 2.25 - 4 (РС)^2 = -1.75 РС = √(-1.75)

Так как результат отрицательный, это означает, что расстояние от вершины А до грани РСD не существует в данной пирамиде.