В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна четыре корня из трех, а двугранный угол...

Для решения данной задачи нам необходимо найти боковые грани пирамиды, а затем вычислить площадь полной поверхности.

Пусть сторона основания четырехугольной пирамиды равна ( a ). Тогда диагональ основания равна ( 4\sqrt{3} ).

Сначала найдем высоту пирамиды. Разобьем пирамиду на два треугольника: прямоугольный треугольник с катетами ( a ) и ( \frac{a}{2} ) (половина диагонали основания) и равнобедренный треугольник с гипотенузой ( a ) и катетами ( \frac{a}{2} ) (половина диагонали основания). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника получаем: ( h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{3a^2}{4} ). Затем для равнобедренного треугольника можем записать: ( h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} ).

Теперь найдем боковые грани пирамиды. Верхняя часть пирамиды - равносторонний треугольник со стороной ( a ) и углом 60 градусов. По формуле для площади равностороннего треугольника ( S{\text{верхнего треугольника}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} ). Площадь нижнего треугольника равна ( S{\text{нижнего треугольника}} = \frac{ah}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} ).

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна: [ S{\text{полная}} = S{\text{основания}} + 2S_{\text{боковых граней}} = a^2 + 2\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) ].

Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна ( a^2(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) ).

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, давайте разберёмся с её геометрическими характеристиками.

1. Основание пирамиды:

   • Основание пирамиды — квадрат, так как она правильная четырёхугольная.
   • Диагональ квадрата равна (4\sqrt{3}).
   • Формула для диагонали квадрата со стороной (a) — это (a\sqrt{2}).
   • Следовательно, имеем уравнение: (a\sqrt{2} = 4\sqrt{3}).
   • Решая его, получаем: (a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}).

2. Площадь основания:

   • Площадь квадрата равна (a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24).

3. Двугранный угол при основании:

   • Двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания равен (60^\circ).
   • Пусть (h) — высота пирамиды, а (l) — апофема (высота боковой грани).
   • Используем тригонометрию: (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{h}{l}).
   • Следовательно, (l = 2h).

4. Высота пирамиды:

   • Высота (h) также связана с радиусом описанной окружности основания.
   • Радиус описанной окружности квадрата: (R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}).
   • В прямоугольном треугольнике с гипотенузой (l), катетами (h) и (R), имеем (l^2 = h^2 + R^2).
   • Подставляем: ( (2h)^2 = h^2 + (2\sqrt{3})^2 ).
   • Это даёт: ( 4h^2 = h^2 + 12 ).
   • Решаем: ( 3h^2 = 12 ), ( h^2 = 4 ), ( h = 2 ).

5. Апофема:

   • (l = 2h = 4).

6. Площадь боковой поверхности:

   • Боковая поверхность состоит из 4 равных треугольников.
   • Площадь одного треугольника: (\frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{6} \times 4 = 4\sqrt{6}).
   • Площадь боковой поверхности: (4 \times 4\sqrt{6} = 16\sqrt{6}).

7. Полная площадь поверхности:

   • Суммируем площади основания и боковой поверхности.
   • Полная площадь: (24 + 16\sqrt{6}).

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна (24 + 16\sqrt{6}) квадратных единиц.

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 16√3 + 4√3 квадратных единиц.