В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основание под углом 30 градусов,а...

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов, а ребро основания равно 6 см, следуем следующим шагам:

1. Определение основных параметров пирамиды:

   • Основание пирамиды — это квадрат со стороной ( a = 6 ) см.
   • Высота боковой грани (апофема), наклоненная к плоскости основания под углом ( \alpha = 30^\circ ).

2. Нахождение высоты пирамиды:

   Сначала найдем длину апофемы боковой грани ( l ). Поскольку боковая грань — это равнобедренный треугольник, его основание — сторона квадрата ( a ), а высота этого треугольника — апофема ( l ).

   Воспользуемся тригонометрией. Проводим перпендикуляр из вершины пирамиды к середине стороны основания. Этот перпендикуляр разделит боковую грань на два прямоугольных треугольника. В одном из таких треугольников угол между апофемой и высотой пирамиды составляет 30 градусов.

   В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов и гипотенузой ( l ), катет, противолежащий углу 30 градусов, равен половине гипотенузы. То есть:

   [ h = l \sin(30^\circ) = l \cdot \frac{1}{2} ]

   Здесь ( h ) — высота пирамиды.

3. Нахождение апофемы:

   Теперь найдем апофему ( l ). Апофема — это гипотенуза в треугольнике, где один катет — это половина стороны основания, а другой катет — высота пирамиды.

   Половина стороны основания ( a/2 = 6/2 = 3 ) см.

   В прямоугольном треугольнике с гипотенузой ( l ) и катетами ( 3 ) см и ( h ):

   [ l = \sqrt{h^2 + 3^2} ]

4. Подставляем найденное значение:

   Подставляем ( h = l \cdot \frac{1}{2} ) в уравнение:

   [ l = \sqrt{(l \cdot \frac{1}{2})^2 + 3^2} ]

   Решаем это уравнение:

   [ l = \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + 3^2} ] [ l = \sqrt{\frac{l^2}{4} + 9} ] [ l^2 = \frac{l^2}{4} + 9 ] [ l^2 - \frac{l^2}{4} = 9 ] [ \frac{3l^2}{4} = 9 ] [ 3l^2 = 36 ] [ l^2 = 12 ] [ l = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

5. Нахождение высоты пирамиды:

   Подставляем ( l ) в формулу для высоты:

   [ h = l \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} ]

6. Нахождение объема пирамиды:

   Объем пирамиды ( V ) находится по формуле:

   [ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h ]

   Площадь основания ( S_{\text{основания}} = a^2 = 6^2 = 36 ) см².

   Подставляем значения:

   [ V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен ( 12\sqrt{3} ) см³.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен (V = \frac{1}{3} \times S{\text{осн}} \times h), где (S{\text{осн}}) - площадь основания, (h) - высота пирамиды.

Площадь основания (S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \times 4}{\tan(180^\circ / 4)} = \frac{6^2 \times 4}{\tan(45^\circ)} = 24 \, \text{см}^2).

Высота пирамиды (h = a \times \cos(30^\circ) = 6 \times \cos(30^\circ) = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{см}).

Тогда объем пирамиды равен (V = \frac{1}{3} \times 24 \times 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \, \text{см}^3).

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды нам необходимо знать площадь основания и высоту.

Так как у нас дан угол наклона боковых граней к основанию, мы можем разделить пирамиду на два треугольника: прямоугольный треугольник, образованный одной из боковых граней, ребром основания и высотой пирамиды; и равносторонний треугольник, образованный основанием и проекцией высоты на основание.

Из прямоугольного треугольника мы можем найти высоту пирамиды: h = 6 * sin(30) = 3 см

Теперь, чтобы найти площадь основания, нам нужно найти сторону основания правильного четырехугольника. Из равностороннего треугольника мы можем найти эту сторону: a = 6 cos(30) = 6 sqrt(3)/2 = 3 * sqrt(3) см

Теперь, зная площадь основания S = a^2 sqrt(3)/4 и высоту h, мы можем найти объем пирамиды: V = S h / 3 = (3 sqrt(3))^2 sqrt(3)/4 3 / 3 = 27 sqrt(3) / 4 см^3

Итак, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 * sqrt(3) / 4 кубических сантиметра.