В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60 градусов....

Конечно, давайте разберем задачу о правильной четырёхугольной пирамиде.

Условие задачи

1. Боковое ребро пирамиды образует угол 60 градусов с плоскостью основания.
2. Высота пирамиды ( h ) равна 3 см.

Нам нужно найти площадь поверхности пирамиды.

Решение

1. Построим пирамиду:

   • Основание пирамиды — квадрат.
   • Вершина пирамиды ( S ) находится над центром квадрата основания ( ABCD ).

2. Обозначения:

   • ( a ) — сторона квадрата основания.
   • ( l ) — боковое ребро пирамиды.
   • ( S_1 ) — площадь основания.
   • ( S_2 ) — площадь боковой поверхности.
   • ( h ) — высота пирамиды (перпендикуляр от вершины ( S ) к центру основания ( O )).

3. Расчет бокового ребра ( l ):

   Из условия известно, что боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это значит, что ( \angle SOA = 60^\circ ), где ( O ) — центр квадрата основания, а ( A ) — вершина квадрата. Треугольник ( SOA ) является прямоугольным, где ( SO = h = 3 ) см — высота пирамиды.

   В треугольнике ( SOA ): [ \cos 60^\circ = \frac{AO}{l} ] [ \frac{1}{2} = \frac{AO}{l} ] [ l = 2 \cdot AO ]

4. Найдем ( AO ):

   ( AO ) — половина диагонали квадрата основания: [ AO = \frac{a \sqrt{2}}{2} ]

5. Найдем ( l ) через ( a ): [ l = 2 \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2} ]

6. Связь между высотой и стороной основания: В треугольнике ( SOA ): [ \sin 60^\circ = \frac{3}{l} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{a \sqrt{2}} ] [ \sqrt{3} \cdot a \sqrt{2} = 6 ] [ a = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} ]

7. Площадь основания ( S_1 ): [ S_1 = a^2 = (\sqrt{6})^2 = 6 \, \text{см}^2 ]

8. Площадь боковой поверхности ( S_2 ): Боковая поверхность состоит из 4 равных треугольников. Площадь одного треугольника: [ S{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h{\text{бок}} ] где ( h{\text{бок}} ) — высота бокового треугольника, опущенная из вершины на сторону основания (половина стороны основания): [ h{\text{бок}} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{\sqrt{7}a}{2} ] [ S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{7}a}{2} = \frac{\sqrt{7}a^2}{4} ]

   Общая площадь боковой поверхности: [ S2 = 4 \cdot S{\triangle} = 4 \cdot \frac{\sqrt{7}a^2}{4} = \sqrt{7} \cdot a^2 = \sqrt{7} \cdot 6 ]

9. Площадь поверхности пирамиды: [ S = S_1 + S_2 = 6 + 6\sqrt{7} \approx 6 + 15.87 = 21.87 \, \text{см}^2 ]

Рисунок

Для лучшего понимания, вот схематическое изображение пирамиды:

       S
      /|\
     / | \
    /  |  \
   /   |   \
  A----O----B
 / \   h   / \
/___\_____/___\
D    a    C

Где:

• ( S ) — вершина пирамиды.
• ( A, B, C, D ) — вершины квадрата основания.
• ( O ) — центр квадрата основания.
• ( h = SO = 3 ) см — высота пирамиды.
• ( a = \sqrt{6} ) см — сторона квадрата основания.
• ( l = a\sqrt{2} = \sqrt{12} ) см — боковое ребро.

Итак, площадь поверхности данной пирамиды равна ( 21.87 \, \text{см}^2 ) (в приближении).

Для решения данной задачи нам необходимо разбить поверхность пирамиды на боковые грани. Поскольку у нас правильная четырёхугольная пирамида, у неё 4 равные боковые грани.

По условию задачи у нас есть угол между боковым ребром и плоскостью основания, равный 60 градусов. Это означает, что треугольник, образованный боковым ребром, высотой и половиной диагонали основания, является равносторонним.

Таким образом, мы можем разбить поверхность пирамиды на 4 равносторонних треугольника. Площадь одного такого треугольника равна:

S = 0.5 a h,

где a - длина стороны треугольника (основания пирамиды), h - высота пирамиды.

Так как у нас правильная четырёхугольная пирамида, то для нахождения площади поверхности всей пирамиды нам нужно просто умножить площадь одного треугольника на количество таких треугольников:

S = 4 0.5 a h = 2 a * h.

Подставим известные значения: a = 3 см (сторона основания), h = 3 см (высота пирамиды):

S = 2 3 см 3 см = 18 см^2.

Таким образом, площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 18 квадратных сантиметров.