В прямоугольном треугольнике угол равен 30 градусам катет прилежащий к нему равен 3 см, найти стороны...

Давайте подробно разберем задачу.

У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен (30^\circ), а прилежащий к этому углу катет равен (3 \, \text{см}). Необходимо найти:

1. Все стороны треугольника.
2. Площадь треугольника.

Свойства прямоугольного треугольника с углом (30^\circ):

1. В прямоугольном треугольнике с углом (30^\circ) противолежащий катет ((a)) равен половине гипотенузы ((c)):
   [ a = \frac{c}{2}. ]
2. Прилежащий к углу (30^\circ) катет ((b)) и гипотенуза ((c)) связаны соотношением: [ b = c \cdot \cos(30^\circ), ] где (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}).

Теперь перейдем к решению.

Шаг 1. Обозначим стороны треугольника

• Прилежащий катет: (b = 3 \, \text{см}) (это дано).
• Противолежащий катет: (a) (нужно найти).
• Гипотенуза: (c) (нужно найти).

Шаг 2. Найдем гипотенузу

Из формулы для прилежащего катета ((b = c \cdot \cos(30^\circ))) выразим гипотенузу (c): [ c = \frac{b}{\cos(30^\circ)}. ] Подставим значения: [ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad b = 3. ] [ c = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}. ] Упростим выражение, домножив числитель и знаменатель на (\sqrt{3}): [ c = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Итак, гипотенуза равна: [ c = 2\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Шаг 3. Найдем противолежащий катет

Противолежащий катет (a) равен половине гипотенузы: [ a = \frac{c}{2}. ] Подставим (c = 2\sqrt{3}): [ a = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \, \text{см}. ]

Итак, противолежащий катет равен: [ a = \sqrt{3} \, \text{см}. ]

Шаг 4. Найдем площадь треугольника

Площадь (S) прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, ] где (a) — противолежащий катет, (b) — прилежащий катет.

Подставим (a = \sqrt{3}) и (b = 3): [ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2. ]

Окончательный ответ:

1. Стороны треугольника:

   • Противолежащий катет: (a = \sqrt{3} \, \text{см}),
   • Прилежащий катет: (b = 3 \, \text{см}),
   • Гипотенуза: (c = 2\sqrt{3} \, \text{см}).

2. Площадь треугольника: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2. ]

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 30 градусам, можно использовать свойства треугольников и тригонометрию для нахождения сторон и площади.

Обозначим треугольник как ABC, где угол C равен 90 градусам, угол A равен 30 градусам, а угол B соответственно равен 60 градусам. Дадим обозначения сторонам:

• ( a ) — противолежащий катет к углу A (30 градусов),
• ( b ) — прилежащий катет к углу A (30 градусов),
• ( c ) — гипотенуза.

Согласно условию, прилежащий катет ( b = 3 ) см.

Находим гипотенузу

Согласно свойствам прямоугольного треугольника: [ \cos(A) = \frac{b}{c} ] Где ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Подставим значения: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{c} ] Теперь выразим ( c ): [ c = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ см} ]

Находим противолежащий катет

Используем синус: [ \sin(A) = \frac{a}{c} ] Где ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ). Подставим значения: [ \frac{1}{2} = \frac{a}{c} ] Теперь выразим ( a ): [ a = \frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.73 \text{ см} ]

Подытожим найденные стороны

• Прилежащий катет ( b = 3 ) см
• Противолежащий катет ( a = \sqrt{3} \approx 1.73 ) см
• Гипотенуза ( c = 2\sqrt{3} \approx 3.46 ) см

Находим площадь треугольника

Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ] Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60 \text{ см}^2 ]

Ответ

• Стороны треугольника:
  • Противолежащий катет ( a \approx 1.73 ) см
  • Прилежащий катет ( b = 3 ) см
  • Гипотенуза ( c \approx 3.46 ) см
• Площадь треугольника ( S \approx 2.60 \text{ см}^2 )