В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60* , а расстояние от центра вписанной окружности до...

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и вписанной окружности.

Пусть бОльшая сторона треугольника равна a, меньшая сторона равна b, а гипотенуза равна c. Также обозначим радиус вписанной окружности как r.

Из условия задачи мы знаем, что расстояние от центра вписанной окружности до вершины угла, равного 60 градусов, равно 10 см. Это означает, что радиус вписанной окружности равен 10 см.

Так как треугольник прямоугольный, то мы можем воспользоваться тем, что радиус вписанной окружности равен половине периметра прямоугольного треугольника минус гипотенуза, то есть r = (a + b - c) / 2.

Также из свойств вписанной окружности мы знаем, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр треугольника, или r = S / p, где S - площадь треугольника, а p - полупериметр.

Из этих двух уравнений, мы можем выразить площадь треугольника через его стороны a, b и c. Далее, используя формулу для площади прямоугольного треугольника (S = (a * b) / 2), мы можем найти значение стороны a.

После всех вычислений мы сможем найти бОльшую сторону треугольника.

Для нахождения большей стороны прямоугольного треугольника воспользуемся теоремой синусов. Обозначим большую сторону треугольника как c, а меньшие стороны как a и b. Пусть угол, противолежащий стороне c, равен 90 градусов.

Так как один из углов равен 60 градусов, то другой угол равен 30 градусов (сумма углов треугольника равна 180 градусов). Также заметим, что вписанная окружность касается стороны c, а значит, радиус окружности равен расстоянию от центра вписанной окружности до вершины угла в 60 градусов.

Теперь можно составить уравнение на основе теоремы синусов:

r = 10 см sin(60 градусов) = r / a sin(60 градусов) = 10 / c

Так как sin(60 градусов) = √3 / 2, подставим это значение и найдем c:

√3 / 2 = 10 / c c = 20 / √3 см

Таким образом, большая сторона треугольника равна 20 / √3 см.

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен (60^\circ), мы имеем дело с частным случаем треугольника (30^\circ-60^\circ-90^\circ). В таком треугольнике стороны относятся как (1 : \sqrt{3} : 2). Пусть (a) — длина меньшей стороны (противоположной углу (30^\circ)), тогда гипотенуза будет (2a), а вторая катет будет (a\sqrt{3}).

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его углов. В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности находится на расстоянии (r) от вершины прямого угла, где (r) — радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой: [ r = \frac{a + b - c}{2}, ] где (a) и (b) — катеты, а (c) — гипотенуза.

Согласно условию, расстояние от центра вписанной окружности до вершины угла (60^\circ) равно 10 см. Это расстояние как раз и является радиусом вписанной окружности, следовательно: [ r = 10 \text{ см}. ]

Подставим в формулу для (r): [ 10 = \frac{a + a\sqrt{3} - 2a}{2}. ]

Упростим уравнение: [ 10 = \frac{a(1 + \sqrt{3} - 2)}{2}, ] [ 10 = \frac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}. ]

Решим уравнение относительно (a): [ 20 = a(\sqrt{3} - 1), ] [ a = \frac{20}{\sqrt{3} - 1}. ]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное ((\sqrt{3} + 1)): [ a = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}. ]

Знаменатель: [ (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = 3 - 1 = 2. ]

Таким образом: [ a = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{2} = 10(\sqrt{3} + 1). ]

Теперь найдем большую сторону треугольника, которая является гипотенузой: [ c = 2a = 2 \times 10(\sqrt{3} + 1) = 20(\sqrt{3} + 1). ]

Следовательно, большая сторона (гипотенуза) данного треугольника равна (20(\sqrt{3} + 1)) сантиметров.