В прямоугольном треугольнике один из катетов равен6, а угол, лежащий напротив него, равен 30° .Найдите...

Конечно, давайте решим эту задачу.

В прямоугольном треугольнике у нас есть один катет, равный 6, и угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°. Обозначим этот катет как (a = 6), угол (\alpha = 30^\circ), а гипотенузу как (c).

Используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции. В треугольнике с углом 30°, 60° и 90° (это наш случай, так как один угол прямой, другой 30°, а третий 60°), есть определенное соотношение между сторонами. Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы.

1. Найдём гипотенузу (c): [ a = \frac{c}{2} ] [ 6 = \frac{c}{2} ] [ c = 12 ]

2. Найдём второй катет (b). В треугольнике с углами 30°, 60° и 90° второй катет равен: [ b = a \cdot \sqrt{3} ] [ b = 6 \cdot \sqrt{3} ]

Теперь у нас есть все необходимые стороны треугольника: (a = 6), (b = 6\sqrt{3}), (c = 12).

1. Найдём площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} ] [ S = 18\sqrt{3} ]

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна (18\sqrt{3}) квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам необходимо найти второй катет прямоугольного треугольника. Из условия задачи мы знаем, что угол, лежащий напротив одного из катетов, равен 30°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол, лежащий напротив второго катета, равен 90° - 30° = 60°.

Далее, используя тригонометрические соотношения, мы можем найти второй катет. Так как tg(30°) = 6/x, где x - искомый катет, то x = 6/tg(30°) ≈ 6/0.577 ≈ 10.39.

Теперь мы знаем оба катета прямоугольного треугольника: 6 и приблизительно 10.39. Далее, используя формулу для площади треугольника S = 0.5 a b, где a и b - катеты, мы можем найти площадь треугольника: S = 0.5 6 10.39 ≈ 31.17.

Итак, площадь прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен 6, а угол, лежащий напротив него, равен 30°, составляет приблизительно 31.17.