В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один...

Пусть A, B, C - вершины прямоугольного треугольника, а M - точка пересечения медианы, проведенной к гипотенузе AC.

Так как M - середина гипотенузы, то AM = MC. Пусть угол BMC равен x, тогда угол AMC также равен x. Также из условия известно, что угол BMC в 8 раз больше угла AMC, то есть 8x = x + x, откуда x = 30 градусов.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол B равен 90 градусов. Тогда угол A равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов.

Итак, острые углы прямоугольного треугольника равны 30 и 60 градусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC) с прямым углом (C). Пусть (M) — середина гипотенузы (AB), и (CM) — медиана, проведённая к гипотенузе (AB). Известно, что медиана (CM) делит прямой угол (C) на два угла, один из которых в 8 раз меньше другого.

Обозначим угол (ACM) через (\alpha). Тогда угол (BCM) будет равен (8\alpha). Поскольку сумма углов в треугольнике (ABC) равна (90^\circ) (так как ( \angle ACB = 90^\circ )), мы можем записать следующее уравнение:

[ \alpha + 8\alpha = 90^\circ ]

Решим это уравнение для (\alpha):

[ 9\alpha = 90^\circ ] [ \alpha = 10^\circ ]

Таким образом, угол (ACM) равен (10^\circ), а угол (BCM) равен (8 \times 10^\circ = 80^\circ).

Теперь найдём острые углы треугольника (ABC). Угол (A) в треугольнике (ABC) равен углу (BCM), то есть (80^\circ). Угол (B) равен углу (ACM), то есть (10^\circ).

Следовательно, острые углы треугольника (ABC) равны (10^\circ) и (80^\circ).