В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а один из острых углов равен ß. Выразите через с и...

Биссектриса второго острого угла прямоугольного треугольника делит его на два равных треугольника. Поэтому мы можем представить себе, что мы работаем с одним из этих треугольников.

Пусть катет прямоугольного треугольника равен a, а гипотенуза равна c. Тогда по теореме Пифагора имеем: ( a^2 + b^2 = c^2 ), где b - другой катет треугольника.

Так как один из острых углов равен ß, то биссектриса второго острого угла будет делить угол ß пополам, то есть будет равна (\frac{ß}{2}). По определению биссектрисы у нас получается, что она разбивает противолежащий ей катет на две части, пропорциональные оставшимся катетам. Поэтому мы можем записать пропорцию: (\frac{b}{a} = \frac{c}{b}), откуда получаем: ( b^2 = ac ).

Также, так как биссектриса делит противолежащий ей катет на отрезки, пропорциональные другим катетам, то получаем: (\frac{b}{x} = \frac{a}{c}), откуда: ( x = \frac{ac}{b} ).

Итак, биссектриса второго острого угла выражается через c и ß следующим образом: ( x = \frac{ac}{b} = \frac{ac}{\sqrt{ac}} = \sqrt{ac} ).

В прямоугольном треугольнике рассмотрим гипотенузу ( c ) и один из острых углов ( \beta ). Нам необходимо выразить через ( c ) и ( \beta ) длину биссектрисы второго острого угла, который обозначим ( \alpha ). Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ( 90^\circ ), угол ( \alpha ) можно выразить как ( \alpha = 90^\circ - \beta ).

Теперь найдем длину биссектрисы угла ( \alpha ). Для этого используем формулу длины биссектрисы угла в треугольнике:

[ l = \frac{2ab \cos \frac{\alpha}{2}}{a + b} ]

где ( a ) и ( b ) — стороны треугольника, заключающие угол ( \alpha ).

В нашем случае стороны ( a ) и ( b ) можно выразить через гипотенузу ( c ) и угол ( \beta ). Используя тригонометрические функции, получаем:

• ( a = c \cos \beta ) (катет, прилежащий к углу ( \beta ))
• ( b = c \sin \beta ) (катет, противолежащий углу ( \beta ))

Теперь подставим эти выражения в формулу для длины биссектрисы:

[ l = \frac{2(c \cos \beta)(c \sin \beta) \cos \frac{90^\circ - \beta}{2}}{c \cos \beta + c \sin \beta} ]

Упрощаем выражение:

1. (\cos \frac{90^\circ - \beta}{2} = \sin \frac{\beta}{2}).

Подставляем это в формулу:

[ l = \frac{2c^2 \cos \beta \sin \beta \sin \frac{\beta}{2}}{c (\cos \beta + \sin \beta)} ]

1. Заметим, что ( 2\cos \beta \sin \beta = \sin 2\beta ). Следовательно:

[ l = \frac{c^2 \sin 2\beta \sin \frac{\beta}{2}}{c (\cos \beta + \sin \beta)} ]

1. Упрощаем:

[ l = \frac{c \sin 2\beta \sin \frac{\beta}{2}}{\cos \beta + \sin \beta} ]

Таким образом, длина биссектрисы угла ( \alpha ) выражается через гипотенузу ( c ) и угол ( \beta ) следующим образом:

[ l = \frac{c \sin 2\beta \sin \frac{\beta}{2}}{\cos \beta + \sin \beta} ]

Это уравнение дает длину биссектрисы второго острого угла в прямоугольном треугольнике.