В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 22, а один из острых углов равен 45 градусов. Найдите...

Для решения задачи о нахождении площади прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна 22, а один из острых углов равен 45 градусов, следует воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрическими функциями.

1. Понимание структуры треугольника:

   • У нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с гипотенузой ( AC = 22 ).
   • Один из острых углов равен 45 градусов. Пусть это угол ( \angle A = 45^\circ ).
   • Следовательно, второй острый угол ( \angle B ) также будет равен ( 45^\circ ) (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна ( 90^\circ )).

2. Треугольник с углами 45°-45°-90°:

   • В 45°-45°-90° треугольнике катеты равны между собой, а гипотенуза в ( \sqrt{2} ) раза больше длины каждого катета. Это следует из соотношения сторон в таком треугольнике: ( 1 : 1 : \sqrt{2} ).

3. Нахождение длины катетов:

   • Пусть длина каждого катета равна ( x ).
   • Тогда гипотенуза будет равна ( x\sqrt{2} ).
   • У нас есть гипотенуза длиной 22, следовательно: [ x\sqrt{2} = 22 ]
   • Решаем уравнение для ( x ): [ x = \frac{22}{\sqrt{2}} = \frac{22\sqrt{2}}{2} = 11\sqrt{2} ]

4. Нахождение площади треугольника:

   • Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 ]
   • Подставляем найденные значения катетов: [ S = \frac{1}{2} \times 11\sqrt{2} \times 11\sqrt{2} ]
   • Считаем: [ S = \frac{1}{2} \times 11\sqrt{2} \times 11\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 11 \times 11 \times 2 = \frac{1}{2} \times 242 = 121 ]

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна ( 121 ) квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам необходимо найти катеты прямоугольного треугольника. Так как у нас известно, что один из острых углов равен 45 градусов, то это значит, что данный треугольник является прямоугольным и катеты равны между собой. Используя свойства треугольника, мы можем найти длину катетов: По формуле синуса: sin(45°) = катет / гипотенуза sin(45°) = катет / 22 катет = 22 sin(45°) = 22 sqrt(2) / 2 = 11 * sqrt(2)

Теперь, зная длину катетов, можем найти площадь треугольника: Площадь треугольника = 0.5 катет1 катет2 Площадь треугольника = 0.5 11 sqrt(2) 11 sqrt(2) = 0.5 121 2 = 121

Ответ: Площадь треугольника равна 121.