В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит его противолежащий катет на отрезки длинной...

Для решения задачи используем свойства биссектрисы и теорему Пифагора. Пусть треугольник ABC прямоугольный, с прямым углом C. Пусть ACB - острый угол, биссектриса которого делит катет AC на два отрезка: AD = 5 см и DC = 13 см. BC является другим катетом, а AB - гипотенузой.

1. По свойству биссектрисы в треугольнике, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные другим двум сторонам, т.е.: [\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}] [\frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}]

2. Пусть BC = x. Тогда AB = (\frac{5}{13}x).

3. Так как ABC - прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора: [AB^2 = AC^2 + BC^2] [\left(\frac{5}{13}x\right)^2 = (5 + 13)^2 + x^2] [\frac{25}{169}x^2 = 18^2 + x^2] [\frac{25}{169}x^2 = 324 + x^2]

4. Приведем уравнение к общему знаменателю: [\frac{25}{169}x^2 - x^2 = 324] [\frac{25x^2 - 169x^2}{169} = 324] [-\frac{144x^2}{169} = 324] [144x^2 = 324 \times 169] [x^2 = \frac{324 \times 169}{144}] [x^2 = 378] [x = \sqrt{378} \approx 19.4422\, \text{см}]

5. Теперь найдем AB и AC: [AB = \frac{5}{13}x \approx \frac{5}{13} \times 19.4422 \approx 7.4817\, \text{см}] [AC = 5 + 13 = 18\, \text{см}]

6. Периметр треугольника ABC будет: [P = AB + BC + AC] [P \approx 7.4817 + 19.4422 + 18 \approx 44.924\, \text{см}]

Итак, периметр приблизительно равен 45 см.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.

По условию задачи, биссектриса делит противолежащий катет на отрезки длиной 5 см и 13 см. Пусть точка деления катета находится на расстоянии x от вершины прямого угла. Тогда по теореме биссектрисы:

a/x = c/(b-x) = 13/5

Отсюда находим, что x = 13a/(a+5) и b-x = 5a/(a+5).

Так как сумма катетов равна гипотенузе, получаем уравнение:

a + b = c

Заменяем a и b на найденные выражения:

13a/(a+5) + 5a/(a+5) = c

Упрощаем и находим значение c:

18a/(a+5) = c

Теперь найдем длину гипотенузы в терминах a:

c = 18a/(a+5)

Теперь найдем периметр треугольника:

P = a + b + c

P = a + b + 18a/(a+5)

P = (a^2 + 5a + 18a)/(a+5)

P = (a^2 + 23a)/(a+5)

P = a(a+23)/(a+5)

Таким образом, периметр треугольника равен a(a+23)/(a+5) см.