В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота CD.Найдите длину гипотенузы,если угол...

В данном прямоугольном треугольнике ( \triangle ABC ), где ( \angle B = 60^\circ ), проведена высота ( CD ) к гипотенузе ( AC ). Нужно найти длину гипотенузы ( AC ), если ( BD = 2 ).

Поскольку ( \angle B = 60^\circ ), то ( \angle A = 30^\circ ), так как сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ) и ( \angle C = 90^\circ ).

Высота ( CD ) делит гипотенузу на отрезки ( BD ) и ( DC ), и по свойству высоты, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, выполняется следующее соотношение:

[ BD \cdot DC = AD \cdot DB ]

Известно, что если (\angle B = 60^\circ), то (\triangle ABC) является частным случаем 30-60-90 треугольника. В таком треугольнике стороны соотносятся как (1 : \sqrt{3} : 2).

Поскольку высота ( CD ) делит гипотенузу на два отрезка, то можно использовать еще одно свойство: ( CD^2 = BD \cdot DC ).

Но сначала найдем соотношения сторон. В треугольнике ( \triangle ABC ) по определению синуса и косинуса для угла ( B = 60^\circ ) мы имеем:

[ \sin 60^\circ = \frac{\text{катет напротив угла B}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

[ \cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет (BC)}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} ]

Из этой информации понимаем, что ( BC = \frac{1}{2}AC ) и ( AB = \frac{\sqrt{3}}{2}AC ).

Теперь применяем свойства высоты, проведенной к гипотенузе:

[ BD \cdot DC = AB \cdot BC ]

С учётом, что ( BD = 2 ) и обозначив ( DC = x ), получаем:

[ 2 \cdot x = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}AC\right) \cdot \left(\frac{1}{2}AC\right) ]

Это уравнение можно упростить:

[ 2x = \frac{\sqrt{3}}{4}AC^2 ]

Теперь найдем ( x ) из условия:

[ x = \frac{AC^2 \sqrt{3}}{8} ]

Поскольку ( 2x = \frac{AC^2 \sqrt{3}}{4} ), мы можем подставить значение ( x ) и решить относительно ( AC ).

Теперь найдём ( AC ), зная, что ( BD = 2 ):

[ 2 \cdot \frac{AC^2 \sqrt{3}}{8} = 2 ]

[ \frac{AC^2 \sqrt{3}}{4} = 2 ]

[ AC^2 \sqrt{3} = 8 ]

[ AC^2 = \frac{8}{\sqrt{3}} ]

[ AC = \sqrt{\frac{8}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt[4]{3}} ]

Вычислив это значение, получаем, что:

[ AC = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}} ]

Таким образом, длина гипотенузы ( AC ) зависит от дальнейших упрощений и вычислений корней, где можно приблизительно определить, что ( AC \approx 2.309 ). Однако для точных значений лучше использовать калькулятор или более подробные вычисления.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами треугольников.

По условию у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 60 градусов. Также дано, что BD = 2.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то мы можем применить теорему Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2

Также, так как BD - высота, то треугольники ABD и BCD подобны треугольнику ABC. Значит, мы можем записать следующее соотношение между сторонами треугольников: BD/BC = BC/AC

Теперь решим систему уравнений. Исходя из подобия треугольников, можем записать, что BD/BC = BC/AC, т.е. 2/BC = BC/AC, откуда BC^2 = AC.

Подставляем это в теорему Пифагора: AB^2 + AC = AC^2 AB^2 + AC = BC^2 AB^2 + AC = 4

Так как угол B равен 60 градусов, то угол A равен 30 градусов. Теперь мы можем записать следующее: AB = AC sin(30) AB = 4 sin(30) AB = 4 * 0.5 AB = 2

Таким образом, длина гипотенузы треугольника ABC равна 2.