В прямоугольном треугольнике ABC угол C 90 ° CD высота гипотенуза AB 10 см CBA 30° найдите BD

BD = 5√3 см

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрическими соотношениями.

У нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом ( C ), гипотенузой ( AB = 10 ) см и углом ( \angle CBA = 30^\circ ). Высота ( CD ), опущенная на гипотенузу, делит ( \triangle ABC ) на два треугольника ( \triangle ACD ) и ( \triangle BCD ), которые также являются прямоугольными треугольниками.

Известно, что в прямоугольном треугольнике, если один из углов равен ( 30^\circ ), то против этого угла лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, ( AC = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 ) см.

Так как ( CD ) является высотой, против угла ( 30^\circ ), которая делит гипотенузу ( AB ) на два отрезка, то длина отрезка ( BD ) будет рассчитываться следующим образом: если ( AC = 5 ) см, то ( BD ) является отрезком гипотенузы, противолежащим углу ( 60^\circ ) в треугольнике ( \triangle BCD ).

Зная, что в ( \triangle BCD ), где ( \angle BCD = 60^\circ ), отношение противолежащего катета (высоты ( CD )) к гипотенузе ( BD ) равно ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ). По теореме Пифагора найдем ( CD ): [ CD = AC \cdot \tan(30^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}. ]

Теперь, зная ( CD ), можно найти ( BD ): [ CD = BD \cdot \sin(60^\circ) \Rightarrow \frac{5\sqrt{3}}{3} = BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BD = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{3} \cdot 2 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ см}. ]

Таким образом, длина ( BD ) приблизительно равна ( 3.33 ) см.

Для того чтобы найти длину отрезка BD, нужно использовать тригонометрические соотношения.

Из условия известно, что CD - высота, а значит треугольник ABC делится на два прямоугольных треугольника: ACD и BCD.

Так как угол CBA равен 30 градусов, то угол ABC равен 60 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Таким образом, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса для нахождения отношения сторон в треугольнике ABC:

tg(60) = CD / BD

tg(60) = √3

CD = BD * √3

CD = 10 см (по условию)

10 = BD * √3

BD = 10 / √3

BD ≈ 5.77 см

Таким образом, длина отрезка BD примерно равна 5.77 см.