В прямоугольном треугольнике ABC ( B=90°) отрезок BD-высота, проведённая к стороне AC, AD:DC=9:40, BD=4√5.Прямая...

Чтобы решить данную задачу, необходимо воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и параллельных прямых.

1. Определим длины отрезков AD и DC:

   Из условия задачи известно, что ( AD:DC = 9:40 ). Пусть ( AD = 9x ) и ( DC = 40x ). Тогда ( AC = AD + DC = 49x ).

2. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике:

   Высота ( BD ), проведенная из прямого угла, по свойству прямоугольного треугольника, связана с катетами и гипотенузой следующим образом: [ BD^2 = AD \cdot DC ] Подставим известные значения: [ (4\sqrt{5})^2 = 9x \cdot 40x ] [ 80 = 360x^2 ] [ x^2 = \frac{80}{360} = \frac{2}{9} ] [ x = \frac{\sqrt{2}}{3} ]

3. Найдем длины отрезков AD и DC:

   [ AD = 9x = 9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = 3\sqrt{2} ] [ DC = 40x = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{40\sqrt{2}}{3} ]

4. Определим длину отрезка AC:

   [ AC = AD + DC = 3\sqrt{2} + \frac{40\sqrt{2}}{3} = \frac{9\sqrt{2}}{3} + \frac{40\sqrt{2}}{3} = \frac{49\sqrt{2}}{3} ]

5. Разделим треугольник на две равновеликие части:

   Прямая ( a ), параллельная высоте ( BD ), делит треугольник ( ABC ) на две равновеликие части. Это означает, что прямая проходит через точку, делящую площадь треугольника пополам.

   Площадь треугольника ( ABC ) равна половине произведения катетов: [ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC ] Используем свойство: [ AB^2 = AD \cdot AC, \quad BC^2 = DC \cdot AC ] Определим катеты ( AB ) и ( BC ): [ AB = \sqrt{AD \cdot AC} = \sqrt{3\sqrt{2} \cdot \frac{49\sqrt{2}}{3}} = \sqrt{49} = 7 ] [ BC = \sqrt{DC \cdot AC} = \sqrt{\frac{40\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{49\sqrt{2}}{3}} = \sqrt{\frac{1960}{9}} = \frac{14}{3} ]

6. Найдем длину отрезка на прямой a:

   Поскольку прямая ( a ) параллельна ( BD ), то она делит треугольник на две равновеликие части, проходя через середину высоты ( BD ). Это означает, что длина отрезка на прямой ( a ), заключенного между сторонами треугольника, равна длине отрезка, параллельного и равного половине высоты ( BD ).

   Половина высоты ( BD ): [ \frac{BD}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5} ]

7. Ответ:

   Длина отрезка на прямой ( a ), заключенного между сторонами треугольника ( ABC ), равна ( 2\sqrt{5} ).

Для начала найдем длину отрезка AC. Поскольку AD:DC=9:40, то можно представить, что AD=9x и DC=40x. Так как BD является высотой, то площадь треугольника ABC равна S=(ACBD)/2. Подставляя известные значения, получаем S=(AC4√5)/2=2√5AC. С другой стороны, S=1/2ADBC=1/2(9x)(AC), откуда AC=18x. Таким образом, 2√5AC=1/2(9x)(18x), откуда x=1/√10. Следовательно, AC=18/√10.

Теперь найдем длину отрезка прямой a. Поскольку прямая a делит треугольник ABC на две равновеликие части, то площади этих частей равны. Пусть отрезок прямой a, заключенный между сторонами треугольника ABC, равен x. Тогда одна из частей треугольника ABC равна (ACx)/2, а другая - (ACBD-x)/2. Подставляя известные значения, получаем уравнение (18/√10x)/2=(18/√104√5-x)/2. Решив это уравнение, найдем x=4/√10.

Итак, длина отрезка прямой a, заключенного между сторонами треугольника ABC, равна 4/√10.