В прямоугольной трапеции АВСД угол ВАД прямой, угол ВАС равен 45ᵒ, угол ВСД равен 135ᵒ, АД=30 см. а)...

а) Меньшая боковая сторона трапеции равна 15 см. б) Трапеция состоит из треугольников ВАС, ВДС и АВД, которые равны между собой.

а) Для нахождения меньшей боковой стороны трапеции можно воспользоваться теоремой косинусов. Из угла ВАС=45ᵒ и стороны АД=30 см найдем длину стороны ВА:

cos(45ᵒ) = Adjacent / Hypotenuse cos(45ᵒ) = VA / 30 VA = 30cos(45ᵒ) = 30√2 / 2 = 15√2

Теперь можем найти меньшую боковую сторону трапеции:

BC = AD - VA = 30 - 15√2 ≈ 10,5 см

б) Трапеция АВСД составлена из трех равных треугольников:

1. ΔВАС - прямоугольный треугольник с катетами ВА и АС
2. ΔСДА - равнобедренный треугольник с основанием АД и равными углами при основании
3. ΔВСD - равнобедренный треугольник с основанием СD и равными углами при основании

Доказательство равенства сторон треугольников:

1. В треугольнике ΔВАС: BC = VA (по построению), VA=VA (общая сторона), угол В = угол В (вертикальные углы). Треугольники ΔВАС и ΔВСB равны по стороне-углу-стороне.
2. В треугольнике ΔСДА: AD = AD (общая сторона), углы САД и АДС равны 45ᵒ (по построению). Треугольники ΔСДА и ΔСАD равны по стороне-углу-стороне.
3. В треугольнике ΔВСD: углы В и С равны 135ᵒ (по построению), углы ВСD и ВCD равны (вертикальные углы), CD = CD (общая сторона). Треугольники ΔВСD и ΔВCD равны по стороне-углу-стороне.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AD и BC — основания, AD — большее основание, BC — меньшее основание. Угол BAD прямой, угол BAC равен 45°, а угол BCD равен 135°. Нам даны следующие данные: AD = 30 см.

Решение

1. Найдем меньшую боковую сторону трапеции:

   В прямоугольной трапеции угол BCD = 135° означает, что угол DCB = 45° (поскольку углы при основании AD равны). Следовательно, треугольник BCD является равнобедренным с углами при основании равными 45° и 45°.

   Рассмотрим треугольник BAD. Угол BAD = 90°, угол BAC = 45°, следовательно, угол CAD = 45°. Это означает, что треугольник BAD является прямоугольным и равнобедренным (углы при основании равны 45°). В таком треугольнике катеты равны.

   Пусть AB = h, тогда BC = h (так как треугольник BCD равнобедренный). В треугольнике BAD, где угол BAC = 45°, катеты равны: AB = AD / √2 = 30 / √2 = 30 * √2 / 2 = 15√2 см.

   Таким образом, меньшая боковая сторона трапеции BC = 15√2 см.

2. Найдем три равных треугольника, из которых составлена трапеция:

   Трапеция ABCD состоит из следующих треугольников:

   • Треугольник ABD
   • Треугольник ABC
   • Треугольник BCD

   Рассмотрим каждую пару треугольников:

   • Треугольник ABD равнобедренный прямоугольный с углом BAD = 90° и углами при основании по 45°. Стороны AB и AD равны, следовательно, AB = AD / √2 = 30 / √2 = 15√2 см.
   • Треугольник ABC равнобедренный прямоугольный с углом BAC = 45° и углом ABC = 90°. Стороны AB и BC равны, следовательно, BC = AB = 15√2 см.
   • Треугольник BCD равнобедренный с углом DCB = 45° и углом BCD = 135°. Стороны BC и CD равны, следовательно, BC = CD = 15√2 см.

   Таким образом, треугольники ABD, ABC и BCD равны по сторонам и углам, так как:

   • У них равны гипотенузы (AD = AB = 30 см).
   • У них равны катеты (AB = BC = CD = 15√2 см).
   • У них равны углы (по 45° и 90°).

Доказательство равенства:

1. Треугольник ABD и треугольник ABC:

   • AB = AB (общая сторона)
   • AD = BC (обе стороны равны 15√2 см)
   • Угол BAD = угол BAC = 45°

   По признаку равенства треугольников (по катету и углу), треугольники ABD и ABC равны.

2. Треугольник ABC и треугольник BCD:

   • BC = BC (общая сторона)
   • AB = CD (обе стороны равны 15√2 см)
   • Угол BCA = угол DCB = 45°

   По признаку равенства треугольников (по катету и углу), треугольники ABC и BCD равны.

Таким образом, треугольники ABD, ABC и BCD равны.