В прямоугольнике ABCD известны стороны AB=8 и AD=68. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину...

Для нахождения длины суммы векторов AO и BO нужно сначала найти векторы AO и BO, а затем сложить их.

Для начала найдем вектор AO. Вектор AO это разность координат точки O и точки A. Точка O это точка пересечения диагоналей, значит, она является центром прямоугольника. Зная, что длина стороны AD равна 6 и стороны AB равна 8, можем найти координаты точки O как (8/2, 6/2) = (4,3).

Теперь найдем вектор AO. Координаты вектора AO равны (4-0, 3-0) = (4,3).

Аналогично найдем вектор BO. Поскольку точка O является центром прямоугольника, то координаты точки B равны (-4,3). Тогда координаты вектора BO равны (-4-0, 3-0) = (-4,3).

Теперь сложим векторы AO и BO: (4,3) + (-4,3) = (0,6).

Длина вектора (0,6) равна корню из суммы квадратов его координат, то есть √(0^2 + 6^2) = √36 = 6.

Таким образом, длина суммы векторов AO и BO равна 6.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Понимание задачи:
   У нас есть прямоугольник (ABCD), где (AB = 8) и (AD = 68). Мы знаем, что диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую диагональ пополам.

2. Диагонали в прямоугольнике:
   В прямоугольнике диагонали равны по длине. Поэтому, диагонали (AC) и (BD) равны.

3. Нахождение длин диагоналей: Используем теорему Пифагора для нахождения длины диагонали (AC):

   [ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 68^2} = \sqrt{64 + 4624} = \sqrt{4688} = 68.58 ]

   Таким образом, (AC = BD = 68.58).

4. Точка пересечения диагоналей:
   Точка (O) — это точка пересечения диагоналей, и она делит каждую диагональ пополам. Следовательно, (AO = \frac{AC}{2}) и (BO = \frac{BD}{2}).

5. Длины отрезков (AO) и (BO):

   [ AO = BO = \frac{68.58}{2} = 34.29 ]

6. Сумма векторов ( \overrightarrow{AO} ) и ( \overrightarrow{BO} ):
   Векторы (\overrightarrow{AO}) и (\overrightarrow{BO}) направлены от точки (A) и (B) к точке (O). Поскольку они делят диагонали пополам и векторы направлены в противоположные стороны, их векторная сумма будет равна:

   [ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} ]

   Длина вектора (\overrightarrow{AB}) равна длине стороны прямоугольника (AB), что равно 8.

Таким образом, длина суммы векторов ( \overrightarrow{AO} ) и ( \overrightarrow{BO} ) равна 8.