В прямокгольнике АВСД,АС=6,угол АСД=60°.Найдите:1)СА*СД,2)АД*СА,3)ВС*ДА.

В прямоугольнике ABCD у нас есть следующие данные: диагональ AC = 6 и угол ACD = 60°. Нам нужно найти произведения CA CD, AD CA и BC * DA.

1. *Найдем CA CD**: Поскольку ABCD — это прямоугольник, угол ACD равен 60°. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения сторон CA и CD.

   В прямоугольном треугольнике ACD:

   • AC — это гипотенуза.
   • Угол ACD = 60°.

   Сторона CA (прилежащая к углу 60°): [ CA = AC \cdot \cos(60°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 ]

   Сторона CD (противоположная углу 60°): [ CD = AC \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ]

   Теперь находим произведение: [ CA \cdot CD = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} ]

2. *Найдем AD CA**: В прямоугольнике стороны AD и BC равны, а стороны AB и CD тоже равны. Используя найденное значение CA = 3, найдем AD.

   В прямоугольнике ABCD также выполняется: [ AD = CD = 3\sqrt{3} ]

   Поэтому: [ AD \cdot CA = (3\sqrt{3}) \cdot 3 = 9\sqrt{3} ]

3. *Найдем BC DA**: Поскольку BC = AD, мы можем написать: [ BC \cdot DA = AD \cdot AD = (3\sqrt{3})^2 = 27 ]

Таким образом, результаты для каждого пункта:

1) ( CA \cdot CD = 9\sqrt{3} )

2) ( AD \cdot CA = 9\sqrt{3} )

3) ( BC \cdot DA = 27 )

Для решения задачи сначала разберемся с геометрией прямоугольника ( ABCD ).

1. Свойства прямоугольника:

   • Противоположные стороны прямоугольника равны (( AB = CD ), ( BC = AD )).
   • Диагонали прямоугольника равны (( AC = BD )).

2. Дано:

   • Диагональ ( AC = 6 ).
   • Угол между диагональю ( AC ) и стороной ( CD ) равен ( 60^\circ ) (( \angle ACD = 60^\circ )).

Теперь разберем задачу по частям.

1. Найти ( CA \cdot CD ).

Так как ( \angle ACD = 60^\circ ), мы можем использовать тригонометрические свойства. В прямоугольнике диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Рассмотрим треугольник ( \triangle ACD ). Это прямоугольный треугольник (( \angle ADC = 90^\circ )) с гипотенузой ( AC = 6 ).

• Известно, что ( \cos \angle ACD = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AD}{AC} ).

Кроме того, воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: [ CD = AC \cdot \sin \angle ACD. ] Подставим значения: [ CD = 6 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}. ]

Теперь найдем произведение: [ CA \cdot CD = 6 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}. ]

Ответ: ( CA \cdot CD = 18\sqrt{3} ).

2. Найти ( AD \cdot CA ).

Чтобы найти ( AD ), воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике ( \triangle ACD ) выполняется теорема Пифагора: [ AC^2 = AD^2 + CD^2. ] Подставим известные значения: [ 6^2 = AD^2 + (3\sqrt{3})^2. ] [ 36 = AD^2 + 27. ] [ AD^2 = 36 - 27 = 9. ] [ AD = \sqrt{9} = 3. ]

Теперь найдем произведение: [ AD \cdot CA = 3 \cdot 6 = 18. ]

Ответ: ( AD \cdot CA = 18 ).

3. Найти ( BC \cdot DA ).

Поскольку ( BC = AD ) (противоположные стороны прямоугольника равны), то ( BC = 3 ) (мы уже нашли ( AD = 3 )).

Теперь произведение: [ BC \cdot DA = 3 \cdot 3 = 9. ]

Ответ: ( BC \cdot DA = 9 ).

Итоговые ответы:

1. ( CA \cdot CD = 18\sqrt{3} ),
2. ( AD \cdot CA = 18 ),
3. ( BC \cdot DA = 9 ).