В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30°. Най­ди­те...

Дано: диагональ прямоугольника равна 10, угол между диагональю и одной из сторон равен 30°.

Обозначим стороны прямоугольника за a и b. Так как угол между диагональю и одной из сторон равен 30°, то мы можем разбить прямоугольник на два равнобедренных треугольника. Таким образом, мы получаем равнобедренный треугольник со сторонами a, b и диагональю в качестве боковой стороны.

Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол между стороной a и диагональю равен 30°. Так как диагональ равна 10, то сторона противолежащая углу 30° равна 10sin(30°) = 100.5 = 5.

Теперь мы знаем, что a = 5, b = 10 и диагональ равна 10. Площадь прямоугольника S = ab = 510 = 50.

Чтобы найти площадь прямоугольника, деленную на √3, нужно разделить площадь прямоугольника на √3: S/√3 = 50/√3 = 50√3/3.

Дано: диагональ прямоугольника (d = 10), угол между диагональю и одной из сторон равен (30^\circ).

Пусть стороны прямоугольника равны (a) и (b). Так как угол между диагональю и одной из сторон равен (30^\circ), то мы можем использовать тригонометрическую функцию косинус для нахождения сторон прямоугольника: [\cos 30^\circ = \frac{a}{d} = \frac{a}{10} \Rightarrow a = 10 \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}]

Так как прямоугольник симметричен относительно диагонали, то стороны прямоугольника (a) и (b) равны, следовательно (b = a = 5\sqrt{3}).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: [S = a \cdot b = (5\sqrt{3})^2 = 75]

Наконец, делим площадь прямоугольника на (\sqrt{3}): [\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{75}{\sqrt{3}} = 25\sqrt{3}]

Итак, площадь прямоугольника, деленная на (\sqrt{3}), равна (25\sqrt{3}).

Дано: Прямоугольник с диагональю ( d = 10 ) и углом ( \alpha = 30^\circ ) между диагональю и одной из сторон прямоугольника.

Задача: Найти площадь прямоугольника, делённую на ( \sqrt{3} ).

Решение:

1. Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ). Так как диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, то по теореме Пифагора верно следующее равенство: [ a^2 + b^2 = d^2 ] Подставляем известные значения: [ a^2 + b^2 = 10^2 = 100 ]

2. Так как угол между диагональю и стороной ( a ) равен 30°, сторона ( a ) будет прилежать к этому углу в образованном треугольнике. Используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике, получаем: [ \cos 30^\circ = \frac{a}{d} ] Значение ( \cos 30^\circ ) равно ( \frac{\sqrt{3}}{2} ), отсюда: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{10} ] Решая это уравнение относительно ( a ), получаем: [ a = 5\sqrt{3} ]

3. Теперь найдём ( b ), используя теорему Пифагора: [ b^2 = d^2 - a^2 = 100 - (5\sqrt{3})^2 = 100 - 75 = 25 ] Отсюда: [ b = 5 ]

4. Площадь прямоугольника ( S ) вычисляется как: [ S = a \cdot b = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3} ]

5. Теперь находим площадь, разделённую на ( \sqrt{3} ): [ \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 ]

Ответ: Площадь прямоугольника, делённая на ( \sqrt{3} ), равна 25.