В параллелограмме ABCD точка М - середина стороны CD;N-точка на стороне AD, такая, что AN:ND=1:2. Выразите...

Для решения задачи выразим векторы CN и MN через заданные векторы ( \mathbf{b} = \overrightarrow{BC} ) и ( \mathbf{a} = \overrightarrow{BA} ).

Шаг 1: Выразим вектор ( \overrightarrow{CD} )

Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что: [ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} = -\mathbf{a} ]

Шаг 2: Найдем вектор ( \overrightarrow{CN} )

Точка N расположена на стороне AD, и по условию ( AN:ND = 1:2 ). Это означает, что ( N ) делит отрезок ( AD ) в отношении 1:2. Значит, вектор ( \overrightarrow{AN} ) составляет ( \frac{1}{3} ) от вектора ( \overrightarrow{AD} ).

Выразим вектор ( \overrightarrow{AD} ): [ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \mathbf{a} + \mathbf{b} ]

Соответственно, вектор ( \overrightarrow{AN} ) равен: [ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

Теперь выразим вектор ( \overrightarrow{CN} ): [ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DN} ]

Так как ( \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ), то: [ \overrightarrow{CN} = -\mathbf{a} + \frac{2}{3} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = -\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} = -\frac{1}{3}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} ]

Шаг 3: Найдем вектор ( \overrightarrow{MN} )

Точка M — середина отрезка CD, поэтому: [ \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}(-\mathbf{a}) = -\frac{1}{2}\mathbf{a} ]

Теперь выразим вектор ( \overrightarrow{MN} ): [ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{CM} ]

Подставим ранее найденные выражения: [ \overrightarrow{MN} = \left(-\frac{1}{3}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b}\right) - \left(-\frac{1}{2}\mathbf{a}\right) ] [ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{a} ]

Приведем подобные слагаемые: [ \overrightarrow{MN} = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} ] [ \overrightarrow{MN} = \left(\frac{-2}{6} + \frac{3}{6}\right)\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} ] [ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{6}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} ]

Таким образом, векторы выражаются следующим образом: [ \overrightarrow{CN} = -\frac{1}{3}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} ] [ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{6}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} ]

Для начала, обозначим векторы:

b = BC a = BA c = CD m = CM n = CN

Так как точка M - середина стороны CD, то вектор m можно выразить как среднее арифметическое векторов c и d:

m = (c + d) / 2

Также, учитывая, что точка N делит отрезок AD в отношении 1:2, вектор n можно выразить как:

n = (2a + 1c) / 3

Теперь, выразим векторы CN и MN через векторы b и a:

CN = CM + MN

CN = (c + d) / 2 + (2a + c) / 3

CN = (3c + 3d + 4a + c) / 6

CN = (4a + 4c + 3d) / 6

MN = CN - CM

MN = (4a + 4c + 3d) / 6 - (c + d) / 2

MN = (2a + 2c + 3d - c - d) / 6

MN = (2a + c + 2d) / 6

Итак, вектор CN можно выразить как (4a + 4c + 3d) / 6, а вектор MN как (2a + c + 2d) / 6, используя векторы b и a.