В параллелограмме ABCD BA=a BC=b Выразите векторы Ac и Bd через векторы a и b

Для выражения векторов AC и BD через векторы a и b в параллелограмме ABCD, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.

Из определения параллелограмма следует, что вектор AC равен сумме векторов AB и BC, то есть AC = AB + BC. Таким образом, вектор AC можно выразить как AC = a + b.

Аналогично, вектор BD можно выразить как разность векторов BA и AD, то есть BD = BA - AD. Поскольку параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны равными и параллельными, то вектор AD равен вектору BC, но с противоположным направлением, то есть AD = -b. Таким образом, вектор BD можно выразить как BD = a - b.

В параллелограмме ABCD, у нас есть следующие векторы:

• ( \mathbf{BA} = \mathbf{a} )
• ( \mathbf{BC} = \mathbf{b} )

Для того чтобы выразить векторы ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ) через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), рассмотрим геометрические свойства параллелограмма и правила сложения векторов.

1. Вектор ( \mathbf{AC} ):

   • Вектор ( \mathbf{AC} ) можно рассматривать как сумму векторов ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{BC} ).
   • Вектор ( \mathbf{AB} ) является противоположным вектору ( \mathbf{BA} ), следовательно, ( \mathbf{AB} = -\mathbf{a} ).

   Таким образом, получаем: [ \mathbf{AC} = \mathbf{AB} + \mathbf{BC} = -\mathbf{a} + \mathbf{b} ] [ \mathbf{AC} = \mathbf{b} - \mathbf{a} ]

2. Вектор ( \mathbf{BD} ):

   • Вектор ( \mathbf{BD} ) можно рассматривать как сумму векторов ( \mathbf{BC} ) и ( \mathbf{CD} ).
   • В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому ( \mathbf{CD} = \mathbf{AB} ), а ( \mathbf{AB} = -\mathbf{a} ).

   Таким образом, получаем: [ \mathbf{BD} = \mathbf{BC} + \mathbf{CD} = \mathbf{b} + (-\mathbf{a}) ] [ \mathbf{BD} = \mathbf{b} - \mathbf{a} ]

Таким образом, оба вектора ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ) выражаются через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) одинаково: [ \mathbf{AC} = \mathbf{b} - \mathbf{a} ] [ \mathbf{BD} = \mathbf{b} - \mathbf{a} ]

Эти выражения показывают, что векторы ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ) в параллелограмме ABCD совпадают по направлению и величине, что соответствует свойствам параллелограмма, где диагонали пересекаются в их серединах и делятся пополам.