В окружности с центром O проведены диаметр AB пересекающий хорду CD в точке K причём K середина хорды...

Для решения данной задачи рассмотрим треугольник AOK, где ОК - радиус окружности, ОА и ОK - радиусы окружности, тогда треугольник AOK является равнобедренным, так как он имеет две равные стороны $радиусы$.

Из условия известно, что угол CAD = 40 градусов, что равно половине центрального угла, поэтому угол CAK = CAD/2 = 20 градусов.

Так как треугольник AOK равнобедренный, то угол AOK = 20 градусов.

Также угол BAK = 90 градусов $таккакAB-диаметрокружности$.

Из суммы углов треугольника AOK получаем, что угол OAK = 180 - 20 - 90 = 70 градусов.

Так как угол OAK равен углу BAK, то угол BAD = 70 градусов.

Итак, угол BAD равен 70 градусов.

Чтобы найти угол $\mathrm{\angle }BAD$, воспользуемся свойствами окружности и углов, опирающихся на диаметр.

По условию, диаметр $AB$ пересекает хорду $CD$ в точке $K$, причём $K$ — середина хорды. Задан угол $\mathrm{\angle }CAD={40}^{\circ }$.

1. Свойства углов и хорды:

   • $K$ — середина хорды $CD$, следовательно, отрезки $CK$ и $KD$ равны.
   • Диаметр окружности всегда перпендикулярен любой хорде, которую он делит пополам. Значит, $AB$ перпендикулярен $CD$, то есть $\mathrm{\angle }AKD={90}^{\circ }$.

2. Углы, опирающиеся на диаметр:

   • Угол, опирающийся на диаметр, равен ${90}^{\circ }$. Следовательно, треугольник $ACD$ прямоугольный с прямым углом $\mathrm{\angle }AKD$.

3. Центральные и вписанные углы:

   • Рассмотрим угол $\mathrm{\angle }CAD$. Этот угол опирается на дугу $CD$.
   • Угол $\mathrm{\angle }BAD$ — центральный угол, который также опирается на ту же дугу $CD$.

4. Соотношение центрального и вписанного углов:

   • Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
   • Если $\mathrm{\angle }CAD={40}^{\circ }$, то центральный угол $\mathrm{\angle }COD$, опирающийся на дугу $CD$, будет в два раза больше: $\mathrm{\angle }COD=2\times \mathrm{\angle }CAD=2\times {40}^{\circ }={80}^{\circ }.$

5. Угол $\mathrm{\angle }BAD$:

   • Поскольку $\mathrm{\angle }BAD$ является центральным углом, опирающимся на ту же дугу $CD$, что и $\mathrm{\angle }COD$, то $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }COD$.

Следовательно, угол $\mathrm{\angle }BAD$ равен ${80}^{\circ }$.