В окружность вписан квадрат со стороной 9 √ 2 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного...

Давайте решим задачу.

Дано:

1. У нас есть окружность, в которую вписан квадрат. Сторона квадрата равна ( 9\sqrt{2} \, \text{см} ).
2. Требуется найти сторону правильного треугольника, описанного вокруг этой же окружности.

Шаг 1. Радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Если квадрат вписан в окружность, то диагональ квадрата является диаметром окружности. Найдем диагональ квадрата.

Формула диагонали квадрата: [ d = a \sqrt{2}, ] где ( a ) — сторона квадрата.

Подставим ( a = 9\sqrt{2} ): [ d = 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18 \, \text{см}. ]

Диаметр окружности равен ( 18 \, \text{см} ). Следовательно, радиус окружности: [ R = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{см}. ]

Шаг 2. Связь радиуса окружности и стороны правильного треугольника.

Правильный треугольник описан вокруг окружности. В этом случае радиус окружности ( R ) связан с его стороной ( a ) (стороной треугольника) формулой: [ R = \frac{a \sqrt{3}}{6}. ]

Подставим выражение радиуса ( R = 9 ): [ 9 = \frac{a \sqrt{3}}{6}. ]

Умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дроби: [ 54 = a \sqrt{3}. ]

Теперь найдем ( a ), разделив обе стороны на ( \sqrt{3} ): [ a = \frac{54}{\sqrt{3}}. ]

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ): [ a = \frac{54\sqrt{3}}{3} = 18\sqrt{3}. ]

Ответ:

Сторона правильного треугольника, описанного вокруг окружности, равна: [ 18\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных.

1. Вписанный квадрат: Дано, что в окружность вписан квадрат со стороной (9\sqrt{2}) см. Поскольку квадрат вписан в окружность, его диагональ равна диаметру окружности. Для нахождения диагонали квадрата используем формулу:

   [ d = a\sqrt{2} ]

   где (a) — сторона квадрата. Подставим значение стороны:

   [ d = 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см} ]

   Таким образом, диаметр окружности составляет 18 см. Радиус (R) окружности равен половине диаметра:

   [ R = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см} ]

2. Описанный треугольник: Теперь мы будем искать сторону правильного треугольника, описанного вокруг круга радиусом (R = 9) см. В правильном треугольнике радиус описанной окружности (R) связан со стороной треугольника (a) следующим образом:

   [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

   Отсюда можно выразить сторону треугольника:

   [ a = R \cdot \sqrt{3} ]

   Подставим значение радиуса:

   [ a = 9 \cdot \sqrt{3} \text{ см} ]

Таким образом, сторона правильного треугольника, описанного вокруг круга радиусом 9 см, равна (9\sqrt{3}) см.