В окружность радиуса 25 вписана трапеция, основания которой равны 30 и 40, причем центр окружности лежит...

Высота трапеции равна 15.

Для решения данной задачи обратимся к свойству окружностей, вписанных в трапеции.

Так как центр окружности лежит внутри трапеции, то радиус окружности будет равен высоте трапеции (перпендикуляру к основаниям, проведенному из центра окружности). Поэтому высота данной трапеции равна 25.

Итак, высота трапеции, вписанной в окружность радиуса 25, равна 25.

Для решения задачи нужно воспользоваться свойством трапеции, вписанной в окружность. Это свойство гласит, что если трапеция вписана в окружность, то она является равнобедренной. Это означает, что боковые стороны трапеции равны.

Давайте обозначим основания трапеции как ( AB = 40 ) и ( CD = 30 ). Пусть ( AD = BC = x ) будут боковыми сторонами трапеции. Радиус окружности равен 25, и центр окружности лежит внутри трапеции.

Поскольку трапеция равнобедренная, отрезки, соединяющие середины оснований, являются высотой трапеции, и также они будут перпендикулярны основаниям.

Обозначим высоту трапеции через ( h ). По свойству трапеции, вписанной в окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Это дает нам уравнение:

[ AB + CD = AD + BC ] [ 40 + 30 = x + x ] [ 70 = 2x ] [ x = 35 ]

Теперь у нас есть равнобедренная трапеция ( ABCD ) с боковыми сторонами ( AD = BC = 35 ), и мы знаем, что ( AB = 40 ), ( CD = 30 ).

Для нахождения высоты ( h ) используем теорему Пифагора на одном из прямоугольных треугольников, образованных высотой и отрезками, на которые она делит основания.

Рассмотрим треугольник ( APM ), где ( M ) — середина основания ( AB ), а ( P ) — точка пересечения высоты с основанием ( AB ). Поскольку ( M ) — середина, ( AM = \frac{40}{2} = 20 ).

Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике ( AMP ):

[ AD^2 = AM^2 + h^2 ] [ 35^2 = 20^2 + h^2 ] [ 1225 = 400 + h^2 ] [ h^2 = 825 ] [ h = \sqrt{825} = \sqrt{25 \times 33} = 5\sqrt{33} ]

Таким образом, высота трапеции равна ( 5\sqrt{33} ).