В Кубе ABCDA1B1C1D1 точки М и N середины рёбер АВ и АD. Точка К принадлежит АА1 и А1К:КА=1:2. Через...

Для решения задачи сначала определим координаты всех точек в заданном кубе. Пусть куб имеет вершины (A(0,0,0)), (B(a,0,0)), (C(a,a,0)), (D(0,a,0)), (A_1(0,0,a)), (B_1(a,0,a)), (C_1(a,a,a)), (D_1(0,a,a)).

Точки (M) и (N) — середины рёбер (AB) и (AD) соответственно:

• (M) имеет координаты ((\frac{a}{2}, 0, 0)),
• (N) имеет координаты ((0, \frac{a}{2}, 0)).

Точка (K) делит отрезок (AA_1) в отношении (1:2), поэтому её координаты можно найти следующим образом:

• (K) будет иметь координаты ((0, 0, \frac{2a}{3})).

Теперь нужно определить уравнение плоскости через три точки (K), (M) и (N). Для этого используем метод векторного произведения. Найдём направляющие векторы плоскости:

• Вектор (KM = (\frac{a}{2}, 0, -\frac{2a}{3})),
• Вектор (KN = (0, \frac{a}{2}, -\frac{2a}{3})).

Векторное произведение векторов (KM) и (KN) даст нам нормаль к плоскости: [ \vec{n} = \vec{KM} \times \vec{KN} ] [ \vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{a}{2} & 0 & -\frac{2a}{3} \ 0 & \frac{a}{2} & -\frac{2a}{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left(0 \cdot -\frac{2a}{3} - \frac{a}{2} \cdot -\frac{2a}{3}\right)

• \mathbf{j} \left(\frac{a}{2} \cdot -\frac{2a}{3} - 0 \cdot -\frac{2a}{3}\right)
  • \mathbf{k} \left(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0\right) ] [ = \mathbf{i} \left(0 + \frac{2a^2}{6}\right)
• \mathbf{j} \left(-\frac{a^2}{3}\right)
  • \mathbf{k} \left(\frac{a^2}{4}\right) ] [ = \mathbf{i} \left(\frac{a^2}{3}\right)
  • \mathbf{j} \left(\frac{a^2}{3}\right)
  • \mathbf{k} \left(\frac{a^2}{4}\right) ]

Таким образом, нормаль к плоскости имеет координаты: [ \vec{n} = \left(\frac{a^2}{3}, \frac{a^2}{3}, \frac{a^2}{4}\right) ]

Уравнение плоскости имеет вид (Ax + By + Cz + D = 0), подставляем коэффициенты нормали: [ \frac{a^2}{3}x + \frac{a^2}{3}y + \frac{a^2}{4}z + D = 0 ]

Для нахождения (D) подставим координаты любой из точек (K), (M) или (N). Например, возьмём точку (K(0, 0, \frac{2a}{3})): [ \frac{a^2}{3} \cdot 0 + \frac{a^2}{3} \cdot 0 + \frac{a^2}{4} \cdot \frac{2a}{3} + D = 0 ] [ 0 + 0 + \frac{a^3}{6} + D = 0 ] [ D = -\frac{a^3}{6} ]

Уравнение плоскости: [ \frac{a^2}{3}x + \frac{a^2}{3}y + \frac{a^2}{4}z - \frac{a^3}{6} = 0 ] или, [ 4x + 4y + 3z - 2a = 0 ]

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба:

1. Пересечение с ( A_1B_1 ) ( (x = a, y = 0)): [ 4a + 0 + 3z - 2a = 0 ] [ 2a + 3z = 2a ] [ 3z = 0 ] [ z = 0 ] Точка пересечения ( (a, 0, 0) ).

2. Пересечение с ( B_1C_1 ) ( (y = a, z = a)): [ 4x + 4a + 3a - 2a = 0 ] [ 4x + 7a - 2a = 0 ] [ 4x + 5a = 0 ] [ x = -\frac{5a}{4} ] Точка пересечения ( (-\frac{5a}{4}, a, a) ) (не подходит).

3. Пересечение с ( D_1C_1 ) ( (x = 0, y = a)): [ 4x + 4a + 3z - 2a = 0 ] [ 4a + 3z - 2a = 0 ] [ 2a + 3z = 0 ] [ z = -\frac{2a}{3} ] Точка пересечения ( (0, a, -\frac{2a}{3}) ) (не подходит).

Пересечения с другими рёбрами также не будут подходить. Мы видим, что плоскость пересекается только в трёх точках, что образует треугольник. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона или через векторное произведение.

Площадь треугольника ( KMN ): [ S = \frac{1}{2} \left| \vec{KM} \times \vec{KN} \right| ]

[ \left| \vec{KM} \times \vec{KN} \right| = \sqrt{\left(\frac{a^2}{3}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{3}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{4}\right)^2} ]

[ = \sqrt{\frac{a^4}{9} + \frac{a^4}{9} + \frac{a^4}{16}} = a^2 \sqrt{\frac{2}{9} + \frac{1}{16}} = a^2 \sqrt{\frac{32 + 9}{144}} = a^2 \sqrt{\frac{41}{144}} = a^2 \cdot \frac{\sqrt{41}}{12} ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{41}}{12} = \frac{a^2 \sqrt{41}}{24} ]

Таким образом, площадь сечения куба плоскостью через точки (K), (M) и (N) составляет (\frac{a^2 \sqrt{41}}{24}).

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точки К, М и N, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдем координаты точек М, N и К. Так как М и N - середины рёбер АВ и АD, то координаты М будут (а/2, 0, 0), а координаты N будут (0, 0, a/2). Точка К принадлежит отрезку АА1, где А1(0, a, 0), и А1К:КА=1:2. Таким образом, координаты точки К будут (0, 2a/3, 0).

2. Теперь построим плоскость, проходящую через точки К, М и N. Для этого определим уравнение плоскости по этим трём точкам.

3. Найдем точки пересечения этой плоскости с гранями куба, чтобы определить фигуру сечения.

4. Рассчитаем площадь полученной фигуры сечения.

После выполнения этих шагов, можно будет вычислить площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки К, М и N.