В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точки Е и F – середины ребер АВ и B1C1 соответственно,...

Для решения задачи сначала определим координаты всех значимых точек в кубе, приняв вершину ( A ) за начало координат ((0,0,0)) и ориентировав ребра вдоль осей координат.

1. Координаты вершин куба:

   • ( A (0,0,0) )
   • ( B (4,0,0) )
   • ( C (4,4,0) )
   • ( D (0,4,0) )
   • ( A1 (0,0,4) )
   • ( B1 (4,0,4) )
   • ( C1 (4,4,4) )
   • ( D1 (0,4,4) )

2. Координаты точек на ребрах:

   • ( E ) — середина ребра ( AB ): [ E \left( \frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (2,0,0) ]
   • ( F ) — середина ребра ( B1C1 ): [ F \left( \frac{4+4}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{4+4}{2} \right) = (4,2,4) ]
   • ( P ) — точка на ребре ( CD ), для которой ( CP = 3PD ). Пусть ( P ) имеет координаты ((x, y, z)). Поскольку ( P ) лежит на ребре ( CD ) (где ( z = 0 )), его координаты можно записать как ( (4 - \frac{3}{4} \cdot 4, 4 - \frac{3}{4} \cdot 4, 0) = (1, 1, 0) ).

3. Вычисление нормали к плоскости треугольника ( EPF ): Для этого нужно найти векторное произведение двух направляющих векторов плоскости.

   • Вектор ( \overrightarrow{EP} ): [ \overrightarrow{EP} = (1 - 2, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0) ]
   • Вектор ( \overrightarrow{EF} ): [ \overrightarrow{EF} = (4 - 2, 2 - 0, 4 - 0) = (2, 2, 4) ]
   • Векторное произведение ( \overrightarrow{EP} \times \overrightarrow{EF} ): [ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -1 & 1 & 0 \ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 4 - 0 \cdot 2) \mathbf{i} - (-1 \cdot 4 - 0 \cdot 2) \mathbf{j} + (-1 \cdot 2 - 1 \cdot 2) \mathbf{k} = (4, 4, -4) ] или, упрощая: ( \overrightarrow{n} = (1, 1, -1) ).

4. Уравнение плоскости ( EPF ): Используем нормаль и точку ( E ) для составления уравнения: [ x + y - z = 2 ] (Так как ( 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = 2 )).

5. Расстояние от точки ( A1 (0,0,4) ) до плоскости: Формула расстояния от точки до плоскости: [ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ] Подставим значения ( A = 1 ), ( B = 1 ), ( C = -1 ), ( D = -2 ), и точку ( A1 (0,0,4) ): [ d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 4 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 2|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ]

Таким образом, расстояние от точки ( A1 ) до плоскости треугольника ( EPF ) равно ( 2\sqrt{3} ).

Для решения данной задачи, нам необходимо найти координаты точек E, F и P, а затем построить уравнение плоскости EPF.

Точки E и F - середины ребер АВ и B1C1 соответственно, поэтому координаты точек E и F будут равны: E((A + B)/2, (A + B)/2, 0) и F((B1 + C1)/2, (B1 + C1)/2, 4)

Точка P находится на ребре CD так, что CP = 3PD, поэтому координаты точки P можно найти, используя отношение деления отрезка: P(0, 0, 3)

Теперь построим уравнение плоскости EPF, зная координаты точек E, F и P: | x - x0 y - y0 z - z0 | | A - B1 A - B1 0 - 4 | | B - B1 B - B1 0 - 4 | | 0 - 0 0 - 0 3 - 4 |

После вычислений получим уравнение плоскости EPF: x - 4y + 4z = 0

Теперь найдем расстояние от точки A1(4, 4, 0) до плоскости EPF, используя формулу для расстояния от точки до плоскости: d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2) d = |4(4) + (-4)(4) + 4(0) + 0| / √(4^2 + (-4)^2 + 4^2) d = |16 - 16| / √(16 + 16 + 16) d = 0 / √48 d = 0

Таким образом, расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EPF равно 0.