В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро имеет длину 5 дм. Найти угол между векторами AC и A1C

Давайте разберем задачу по шагам.

1. Определим координаты точек куба:

   Пусть точка ( A ) находится в начале координат, то есть ( A(0, 0, 0) ).

   Тогда координаты других вершин куба, учитывая, что длина ребра равна 5 дм, будут:

   • ( B(5, 0, 0) )
   • ( C(5, 5, 0) )
   • ( D(0, 5, 0) )
   • ( A_1(0, 0, 5) )
   • ( B_1(5, 0, 5) )
   • ( C_1(5, 5, 5) )
   • ( D_1(0, 5, 5) )

2. Вычислим координаты векторов ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{A_1C} ):

   • Вектор ( \overrightarrow{AC} ) направлен от точки ( A ) к точке ( C ). Его координаты можно найти как разность координат точки ( C ) и точки ( A ): [ \overrightarrow{AC} = (5 - 0, 5 - 0, 0 - 0) = (5, 5, 0) ]

   • Вектор ( \overrightarrow{A_1C} ) направлен от точки ( A_1 ) к точке ( C ). Его координаты: [ \overrightarrow{A_1C} = (5 - 0, 5 - 0, 0 - 5) = (5, 5, -5) ]

3. Найдем скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{A_1C} ):

   Скалярное произведение ( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A_1C} ) рассчитывается по формуле: [ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A_1C} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 ] Подставим значения: [ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A_1C} = 5 \cdot 5 + 5 \cdot 5 + 0 \cdot (-5) = 25 + 25 + 0 = 50 ]

4. Найдем длины векторов ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{A_1C} ):

   Длина вектора ( \overrightarrow{AC} ) равна: [ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

   Длина вектора ( \overrightarrow{A_1C} ) равна: [ |\overrightarrow{A_1C}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} ]

5. Найдем косинус угла между векторами:

   Угол ( \theta ) между двумя векторами дается формулой: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{A_1C}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{A_1C}|} ] Подставим найденные значения: [ \cos \theta = \frac{50}{5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{50}{25\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} ]

6. Определим угол:

   Теперь найдём сам угол ( \theta ): [ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) ]

Таким образом, угол между векторами ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{A_1C} ) равен ( \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) ).

Для нахождения угла между векторами AC и A1C нужно сначала найти сами эти векторы. В кубе ABCDA1B1C1D1 вектор AC соединяет вершины A и C, а вектор A1C соединяет вершины A1 и C.

Длина ребра куба равна 5 дм, поэтому вектор AC можно представить как (5, 0, 0), так как он идет вдоль оси x. Вектор A1C также можно записать как (0, 0, 5), так как он идет вдоль оси z.

Теперь найдем скалярное произведение векторов AC и A1C, используя формулу: AC A1C = |AC| |A1C| * cos(угол)

|AC| = √(5^2 + 0^2 + 0^2) = 5 |A1C| = √(0^2 + 0^2 + 5^2) = 5

Теперь подставим значения в формулу: 5 5 cos(угол) = 25 * cos(угол)

Скалярное произведение векторов AC и A1C равно 25 * cos(угол). Для нахождения угла между векторами AC и A1C нам нужно найти угол, который удовлетворяет этому уравнению.