В кубе abcda1b1c1d1 найдите тангенс угла между прямыми ab и db1

Чтобы найти тангенс угла между прямыми ( AB ) и ( DB_1 ) в кубе ( ABCD A_1B_1C_1D_1 ), нужно разобраться с их направляющими векторами и взаимным расположением в пространстве.

Шаг 1. Координаты точек

Предположим, что куб задан с ребром длины ( a ), а точка ( A ) расположена в начале координат: ( A(0, 0, 0) ). Тогда координаты остальных вершин куба будут:

• ( B(a, 0, 0) ),
• ( D(0, a, 0) ),
• ( B_1(a, 0, a) ).

Шаг 2. Направляющие векторы прямых

Прямая ( AB ) проходит через точки ( A(0, 0, 0) ) и ( B(a, 0, 0) ). Направляющий вектор этой прямой: [ \vec{AB} = B - A = (a, 0, 0). ]

Прямая ( DB_1 ) проходит через точки ( D(0, a, 0) ) и ( B_1(a, 0, a) ). Направляющий вектор этой прямой: [ \vec{DB_1} = B_1 - D = (a - 0, 0 - a, a - 0) = (a, -a, a). ]

Шаг 3. Косинус угла между векторами

Угол между двумя прямыми находится через скалярное произведение направляющих векторов. Напомним формулу для скалярного произведения: [ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta, ] где ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) — скалярное произведение векторов, ( |\vec{u}| ) и ( |\vec{v}| ) — длины векторов, ( \theta ) — угол между ними.

Скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{DB_1} ): [ \vec{AB} \cdot \vec{DB_1} = (a, 0, 0) \cdot (a, -a, a) = a \cdot a + 0 \cdot (-a) + 0 \cdot a = a^2. ]

Длина вектора ( \vec{AB} ): [ |\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a. ]

Длина вектора ( \vec{DB_1} ): [ |\vec{DB_1}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}. ]

Косинус угла между векторами: [ \cos\theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{AB}| |\vec{DB_1}|} = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. ]

Шаг 4. Тангенс угла

Теперь найдем тангенс угла ( \theta ) через связь между синусом, косинусом и тангенсом: [ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}. ] Сначала найдем ( \sin\theta ) из основного тригонометрического тождества: [ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. ] Подставим ( \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} ): [ \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. ] [ \sin\theta = \sqrt{\frac{2}{3}}. ]

Теперь вычислим тангенс: [ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{2}. ]

Ответ:

Тангенс угла между прямыми ( AB ) и ( DB_1 ) равен: [ \tan\theta = \sqrt{2}. ]

Для нахождения тангенса угла между прямыми ( ab ) и ( db_1 ) в кубе, можно использовать векторы.

1. Вектор ( \overrightarrow{ab} = (1, 0, 0) ) (если куб имеет длину ребра 1).
2. Вектор ( \overrightarrow{db_1} = (1, 0, 1) ).

Теперь найдем угол между ними, используя скалярное произведение и длины векторов:

[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{db_1}}{|\overrightarrow{ab}| |\overrightarrow{db_1}|} ]

Скалярное произведение:

[ \overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{db_1} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1 ]

Длину векторов:

[ |\overrightarrow{ab}| = 1, \quad |\overrightarrow{db_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} ]

Теперь подставим в формулу:

[ \cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ]

Следовательно, ( \theta = 45^\circ ). Тогда тангенс угла:

[ \tan \theta = \tan 45^\circ = 1 ]

Таким образом, тангенс угла между прямыми ( ab ) и ( db_1 ) равен ( 1 ).

Чтобы найти тангенс угла между прямыми ( ab ) и ( db_1 ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), сначала определим координаты вершин куба. Пусть куб имеет длину ребра ( a ) и расположен в трехмерной системе координат следующим образом:

• ( A (0, 0, 0) )
• ( B (a, 0, 0) )
• ( C (a, a, 0) )
• ( D (0, a, 0) )
• ( A_1 (0, 0, a) )
• ( B_1 (a, 0, a) )
• ( C_1 (a, a, a) )
• ( D_1 (0, a, a) )

Теперь определим векторы, соответствующие прямым ( ab ) и ( db_1 ).

1. Вектор ( \overrightarrow{ab} ): [ \overrightarrow{ab} = B - A = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0) ]

2. Вектор ( \overrightarrow{db_1} ): [ \overrightarrow{db_1} = B_1 - D = (a, 0, a) - (0, a, 0) = (a, -a, a) ]

Теперь у нас есть два вектора:

• ( \overrightarrow{ab} = (a, 0, 0) )
• ( \overrightarrow{db_1} = (a, -a, a) )

Чтобы найти угол между этими двумя векторами, используем формулу для косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{db_1}}{|\overrightarrow{ab}| |\overrightarrow{db_1}|} ]

Сначала найдем скалярное произведение ( \overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{db_1} ): [ \overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{db_1} = (a, 0, 0) \cdot (a, -a, a) = a \cdot a + 0 \cdot (-a) + 0 \cdot a = a^2 ]

Теперь найдем длины векторов: [ |\overrightarrow{ab}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a ] [ |\overrightarrow{db_1}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} ]

Теперь подставим в формулу для косинуса: [ \cos \theta = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Теперь найдем синус угла ( \theta ) с использованием основного тригонометрического соотношения: [ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ] [ \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ] [ \sin \theta = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} ]

Теперь можем найти тангенс угла: [ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{18}}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} ]

Таким образом, тангенс угла между прямыми ( ab ) и ( db_1 ) равен ( \sqrt{2} ).