В цилиндре проведена плоскость параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120 градусов....

Для решения задачи начнем с анализа данного сечения цилиндра. Плоскость, проведенная параллельно оси цилиндра, образует прямоугольник в сечении. Одна из сторон этого прямоугольника (перпендикулярная оси) равна длине отсеченной дуги в основании цилиндра, а другая сторона (параллельная оси) равна высоте цилиндра.

Рассмотрим окружность основания цилиндра. Дуга в 120 градусов соответствует третьей части полной окружности. Если радиус окружности равен ( R ), то длина дуги, которую отсечет секущая плоскость, равна ( \frac{2\pi R \cdot 120}{360} = \frac{2\pi R}{3} ).

Поскольку диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см, можно использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса цилиндра. Плоскость сечения делит радиус на две части: одна часть от центра основания до сечения равна ( R - 3 ) см, другая — от сечения до края основания (по радиусу), равна ( 3 ) см. Таким образом, ( R - 3 + 3 = R ).

Также в прямоугольнике сечения диагональ соединяет точки, делящие размеры сторон в отношении, определяемом углом дуги. Высоту ( H ) цилиндра можем найти из соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, одной из сторон прямоугольника и высотой цилиндра: [ H^2 + \left(\frac{2\pi R}{3}\right)^2 = 20^2 ] [ H^2 + \frac{4\pi^2 R^2}{9} = 400 ]

Отсюда найдем ( H ): [ H = \sqrt{400 - \frac{4\pi^2 R^2}{9}} ]

Наконец, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению периметра основания на высоту: [ S = 2\pi R \cdot H ] [ S = 2\pi R \sqrt{400 - \frac{4\pi^2 R^2}{9}} ]

Для полного решения задачи потребовалось бы найти ( R ) через дополнительные соотношения или измерения, поскольку информации в условии задачи недостаточно для однозначного вычисления ( R ) и, соответственно, ( H ).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 240 см^2.

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус и высоту цилиндра, затем по формуле (S = 2 \pi r h) найдем площадь боковой поверхности.

1. Найдем радиус цилиндра. Поскольку диагональ сечения равна 20 см, а удалена от оси на 3 см, то получаем, что радиус составляет (r = \sqrt{20^2 - 3^2} = \sqrt{391} \approx 19.77) см.

2. Найдем высоту цилиндра. Так как плоскость отсекает от окружности дугу в 120 градусов, то угол при вершине равен 60 градусов. По теореме косинусов найдем высоту: (h = r \cdot \cos{60^\circ} = \frac{r}{2} = \frac{\sqrt{391}}{2} \approx 9.89) см.

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра: (S = 2 \pi \cdot 19.77 \cdot 9.89 \approx 1236.39) см².

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна примерно 1236.39 см².