Указать значения а, при которых пары прямых параллельны и перпендикулярны 4х+у-6=0 и 3х+ау-2=0

Для решения задачи необходимо определить значения параметра ( a ), при которых данные прямые будут параллельны или перпендикулярны.

Параллельность прямых

Две прямые на плоскости заданы уравнениями:

1. ( 4x + y - 6 = 0 )
2. ( 3x + ay - 2 = 0 )

Чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением ( Ax + By + C = 0 ), равен (-\frac{A}{B}).

Для первой прямой:

• ( A_1 = 4 ), ( B_1 = 1 ), следовательно, угловой коэффициент ( k_1 = -\frac{4}{1} = -4 ).

Для второй прямой:

• ( A_2 = 3 ), ( B_2 = a ), следовательно, угловой коэффициент ( k_2 = -\frac{3}{a} ).

Приравняем угловые коэффициенты для параллельности: [ -4 = -\frac{3}{a} ] [ 4 = \frac{3}{a} ] Откуда ( a = \frac{3}{4} ).

Перпендикулярность прямых

Для перпендикулярности прямых произведение их угловых коэффициентов должно быть равно (-1): [ k_1 \cdot k_2 = -1 ] Подставим известные значения: [ -4 \cdot \left(-\frac{3}{a}\right) = -1 ] [ \frac{12}{a} = -1 ] [ 12 = -a ] Откуда ( a = -12 ).

Ответ

Таким образом, для параллельности прямых ( a = \frac{3}{4} ), а для перпендикулярности ( a = -12 ).

Для того чтобы определить значения параметра a, при которых данные прямые параллельны, необходимо сравнить коэффициенты при x в обоих уравнениях. В данном случае у нас есть уравнения 4x + y - 6 = 0 и 3x + ay - 2 = 0. Поскольку прямые параллельны, то коэффициенты при x в обоих уравнениях должны быть равны, то есть 4 = 3. Отсюда следует, что a = 1.

Чтобы определить значения параметра a, при которых данные прямые перпендикулярны, необходимо учесть, что угловой коэффициент одной из прямых должен быть равен обратному по знаку к угловому коэффициенту другой прямой. В данном случае угловые коэффициенты прямых равны -4 и -3/a соответственно. Поэтому a = -3/4.

Таким образом, при a = 1 данные прямые параллельны, а при a = -3/4 они перпендикулярны.