Угол при вершине,противолежащий основанию равнобедренного треугольника,равен 30 градусов. Площадь треугольника...

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна (a), основание равно (b), а угол при вершине, противолежащий основанию, равен 30 градусов. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны между собой и равны (75^\circ).

Разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя высоту из вершины к основанию. Таким образом, получаем, что синус угла (75^\circ) равен (a/2b). Из условия задачи известно, что площадь треугольника равна 81, поэтому:

[\frac{1}{2} \times b \times a = 81] [b \times a = 162]

Также известно, что синус угла (75^\circ) равен (\sqrt{3}/2), поэтому:

[\frac{a}{2b} = \frac{\sqrt{3}}{2}] [a = b\sqrt{3}]

Подставив значение (a = b\sqrt{3}) в уравнение (b \times a = 162), получаем:

[b \times b\sqrt{3} = 162] [b^2\sqrt{3} = 162] [b^2 = \frac{162}{\sqrt{3}}] [b^2 = 54] [b = \sqrt{54}] [b = 3\sqrt{6}]

Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника равна (3\sqrt{6}).

Для решения задачи начнем с анализа равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике угол при вершине (тот, который противолежит основанию) равен 30 градусам. Это значит, что оставшиеся два угла при основании равны между собой. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, мы можем вычислить, что каждый из углов при основании равен:

[ \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ. ]

Теперь, перейдем к поиску боковой стороны. Пусть ( AB = AC = a ) — боковые стороны треугольника, а ( BC = b ) — основание.

Площадь треугольника также можно выразить через синус угла между боковыми сторонами (то есть через угол при вершине). Формула для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC). ]

В нашем случае это будет:

[ 81 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(30^\circ). ]

Поскольку (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}), уравнение принимает вид:

[ 81 = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{2}. ]

Упростим его:

[ 81 = \frac{a^2}{4}. ]

Теперь умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

[ 324 = a^2. ]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:

[ a = \sqrt{324} = 18. ]

Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18.

Пусть боковая сторона равна (x). Так как угол при вершине равен 30 градусам, то у нас есть равносторонний треугольник, дополнительный к равнобедренному. Таким образом, все стороны равны между собой. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле (S = \frac{x^2\sin(30)}{2} = 81). Решив это уравнение, получим, что боковая сторона равна 18.