Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его радиуса и образующей равна 2 см. Найдите...

Площадь полной поверхности конуса равна S = πr(r + l), где r - радиус основания, l - образующая конуса. Дано, что угол при вершине конуса равен 60°, значит, у нас равнобедренный треугольник. Так как сумма длин радиуса и образующей равна 2 см, то можем записать: r + l = 2 l = 2 - r

Также, в равнобедренном треугольнике вершина угла равна 60°, следовательно, угол при основании равен 60°/2 = 30°. Так как l = 2 - r и угол при основании равен 30°, то можем записать: sin(30°) = r/l sin(30°) = r/(2 - r) 1/2 = r/(2 - r) 2 - r = 2r 3r = 2 r = 2/3

Теперь можем найти длину образующей: l = 2 - r l = 2 - 2/3 l = 4/3

Теперь можем найти площадь полной поверхности конуса: S = πr(r + l) S = π(2/3)(2/3 + 4/3) S = π(2/3)(6/3) S = 4π/3

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна 4π/3.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Понимание задачи:

   • Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°. Это означает, что угол между двумя образующими конуса, которые пересекаются в его вершине, равен 60°.
   • Сумма длин радиуса основания ( r ) и образующей ( l ) равна 2 см.

2. Вычисление радиуса и высоты конуса: Рассмотрим осевое сечение конуса, которое является равнобедренным треугольником с углом при вершине 60°.

   В этом треугольнике:

   • Основание треугольника — это диаметр основания конуса, равный ( 2r ).
   • Две равные стороны — это образующие конуса ( l ).

   Так как угол при вершине равен 60°, то треугольник является равносторонним. Тогда: [ l = r ]

   Из условия задачи ( r + l = 2 ) см: [ r + r = 2 \quad \Rightarrow \quad 2r = 2 \quad \Rightarrow \quad r = 1 \text{ см} ]

   Следовательно, ( l = 1 \text{ см} ).

3. Вычисление высоты конуса: Высота ( h ) конуса является перпендикуляром, опущенным из вершины конуса на основание (в центр основания). В равностороннем треугольнике высота разделяет его на два равных прямоугольных треугольника с углом 30° у основания и гипотенузой ( l ).

   Из треугольника с углом 30°: [ \cos 30° = \frac{h}{l} ] [ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{1} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см} ]

4. Вычисление площади полной поверхности конуса: Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

   • Площадь основания ( S{\text{осн}} ): [ S{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2 ]

   • Площадь боковой поверхности ( S{\text{бок}} ): [ S{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 1 \cdot 1 = \pi \text{ см}^2 ]

   • Полная площадь поверхности ( S{\text{полн}} ): [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} = \pi + \pi = 2\pi \text{ см}^2 ]

Итак, площадь полной поверхности конуса равна ( 2\pi ) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус и образующую конуса, зная угол при вершине осевого сечения и их сумму.

1. Найдем радиус и образующую конуса: Угол при вершине осевого сечения равен 60°, следовательно, треугольник, образованный радиусом и образующей конуса, является равнобедренным. Таким образом, мы можем разделить его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых будет иметь один острый угол равный 30°. По теореме синусов: [ \frac{r}{\sin{30}} = \frac{l}{\sin{60}} ] [ r = \frac{l \cdot \sin{30}}{\sin{60}} ] [ r = \frac{2 \cdot \sin{30}}{\sin{60}} ] [ r = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{3}/2} ] [ r = \frac{1}{\sqrt{3}} ] [ r = \frac{\sqrt{3}}{3} ]

Также, сумма длин радиуса и образующей равна 2 см: [ r + l = 2 ] [ \frac{\sqrt{3}}{3} + l = 2 ] [ l = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3} ] [ l = \frac{6 - \sqrt{3}}{3} ]

1. Найдем площадь полной поверхности конуса: [ S = \pi r^2 + \pi r l ] [ S = \pi \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 + \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{6 - \sqrt{3}}{3} ] [ S = \pi \cdot \frac{3}{9} + \pi \cdot \frac{6\sqrt{3} - 3}{9} ] [ S = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi\sqrt{3} - \pi}{3} ] [ S = \frac{2\pi\sqrt{3} - \pi + 3\pi}{3} ] [ S = \frac{2\pi\sqrt{3} + 2\pi}{3} ] [ S = \frac{2\pi(\sqrt{3} + 1)}{3} ]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна ( \frac{2\pi(\sqrt{3} + 1)}{3} ) квадратных сантиметров.