Угол при основании равнобедренного треугольника равен 80 градусов, а на проведённой к основанию высоте...

Рассмотрим задачу более подробно. У нас есть равнобедренный треугольник ( ABC ), где углы при основании ( AB ) равны ( 80^\circ ), а высота ( CD ), проведённая к основанию ( AB ), равна ( 18 \, \text{см} ). На высоте ( CD ), как на диаметре, построена окружность. Требуется найти длину дуги окружности, которая заключена внутри треугольника.

Шаг 1. Определение свойств треугольника

1. Углы при основании равнобедренного треугольника ( ABC ) равны ( 80^\circ ), значит угол при вершине ( C ) равен: [ \angle ACB = 180^\circ - 80^\circ - 80^\circ = 20^\circ. ]

2. Высота ( CD ) делит треугольник ( ABC ) на два равных прямоугольных треугольника ( \triangle ACD ) и ( \triangle BCD ), так как ( AB ) является основанием, а треугольник равнобедренный. Значит, ( AD = DB ).

Шаг 2. Радиус окружности

Поскольку окружность построена на высоте ( CD ) как на диаметре, то диаметр окружности равен ( CD = 18 \, \text{см} ). Радиус окружности ( R ) равен половине диаметра: [ R = \frac{CD}{2} = \frac{18}{2} = 9 \, \text{см}. ]

Шаг 3. Угловая мера дуги окружности внутри треугольника

Дуга окружности, заключённая внутри треугольника ( ABC ), соответствует центральному углу, равному углу при вершине ( C ) треугольника, то есть ( 20^\circ ).

Однако в окружности центральный угол измеряется в радианах. Переведём угол ( 20^\circ ) в радианы: [ \text{1 радиан} = \frac{\pi}{180^\circ}, \quad \text{поэтому: } 20^\circ = \frac{20 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{9} \, \text{радиан}. ]

Шаг 4. Длина дуги окружности

Формула длины дуги окружности: [ L = R \cdot \theta, ] где ( R ) — радиус окружности, а ( \theta ) — угловая мера дуги в радианах.

Подставляем значения: [ L = 9 \cdot \frac{\pi}{9} = \pi \, \text{см}. ]

Ответ:

Длина дуги окружности, заключённой внутри треугольника, равна ( \pi \, \text{см} ) или приблизительно ( 3.14 \, \text{см} ).

Для решения задачи сначала найдем необходимые параметры равнобедренного треугольника, а затем вычислим длину дуги окружности.

1. Определение углов треугольника: У нас есть равнобедренный треугольник, в котором угол при основании равен 80°. Следовательно, углы при основании равны, и угол между боковыми сторонами треугольника будет: [ \alpha = 180^\circ - 2 \cdot 80^\circ = 20^\circ. ]

2. Высота треугольника: Высота, проведенная к основанию, делит равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Обозначим длину основания равнобедренного треугольника как ( AB ), а высоту как ( h = 18 ) см. Высота также делит основание на два равных отрезка: [ AM = MB = \frac{AB}{2}, ] где ( M ) — точка пересечения высоты с основанием ( AB ).

3. Нахождение длины основания: В прямоугольном треугольнике ( \triangle AMH ): [ \tan(40^\circ) = \frac{h}{AM} = \frac{18}{AM} \implies AM = \frac{18}{\tan(40^\circ)}. ] Подставляя значение ( \tan(40^\circ) ) (примерно 0.8391): [ AM \approx \frac{18}{0.8391} \approx 21.5 \text{ см}. ] Следовательно, длина основания ( AB ) равна: [ AB = 2 \cdot AM \approx 2 \cdot 21.5 \approx 43 \text{ см}. ]

4. Определение радиуса окружности: Окружность, построенная на основании треугольника, имеет радиус, равный половине длины основания: [ R = \frac{AB}{2} = \frac{43}{2} \approx 21.5 \text{ см}. ]

5. Вычисление длины дуги: Дуга, заключенная внутри треугольника, соответствует углу ( 20^\circ ). Длина дуги определяется по формуле: [ L = R \cdot \theta, ] где ( \theta ) в радианах. Переведем угол ( 20^\circ ) в радианы: [ \theta = \frac{20 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{9} \text{ радиан}. ] Теперь подставим радиус и угол в формулу длины дуги: [ L = 21.5 \cdot \frac{\pi}{9} \approx 21.5 \cdot 0.3491 \approx 7.49 \text{ см}. ]

Таким образом, длина дуги окружности, заключенной внутри треугольника, составляет примерно 7.49 см.