Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°, а площадь= 72корень3. Найти стороны треугольника

Для того чтобы найти стороны равнобедренного треугольника, исходя из данной информации, нам нужно использовать несколько геометрических и тригонометрических свойств.

1. Определение углов треугольника:

   • Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании равны и составляют 30° каждый.
   • Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Поэтому третий угол, который является углом при вершине, равен (180° - 2 \times 30° = 120°).

2. Обозначение сторон:

   • Пусть основание треугольника будет (a).
   • Две равные стороны обозначим как (b).

3. Высота треугольника, проведенная из вершины к основанию:

   • Высота, проведенная из вершины к основанию, делит основание на две равные части, по (a/2) каждая, и также делит угол при вершине (120°) на два угла по 60°.
   • Таким образом, у нас получается два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°.

4. Использование тригонометрии:

   • В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60° и 90° катет, прилежащий к углу 30°, равен половине гипотенузы. То есть, если гипотенуза равна (b), то катет, прилежащий к углу 30°, будет равен (b/2), а противоположный катет равен (b \cdot \sin(60°) = b \cdot (\sqrt{3}/2)).

5. Высота треугольника:

   • Высота треугольника равна (b \cdot (\sqrt{3}/2)).

6. Площадь треугольника:

   • Площадь треугольника равна ( \frac{1}{2} \times a \times \text{высота} ).
   • Подставляем известные значения: ( \frac{1}{2} \times a \times b \cdot (\sqrt{3}/2) = 72\sqrt{3} ).
   • Упрощаем это уравнение: ( \frac{1}{2} \times a \times b \cdot (\sqrt{3}/2) = 72\sqrt{3} ) -> ( a \times b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 144\sqrt{3} ) -> ( a \times b = 288 ).

7. Соотношение сторон:

   • Исходя из треугольников с углами 30°, 60° и 90°, основание (a) равно ( b \cdot \cos(30°) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ).

8. Решение системы уравнений:

   • Подставляем выражение для основания (a) в уравнение площади (a \times b = 288):
   • ( (b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \times b = 288 ) -> ( b^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 288 ) -> ( b^2 = \frac{288 \times 2}{\sqrt{3}} ) -> ( b^2 = \frac{576}{\sqrt{3}} ) -> ( b^2 = 192\sqrt{3} ).
   • ( b = \sqrt{192\sqrt{3}} ).

9. Упрощение:

   • ( b = \sqrt{192 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{192} \cdot \sqrt[4]{3} = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} = 8 \cdot 3^{1/4} ).

10. Подстановка значения (b) в (a):

    • ( a = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot 3^{1/4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3^{1/4} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3^{1/4} \cdot 3^{1/2} = 4 \cdot 3^{3/4} ).

Таким образом, длины сторон треугольника будут:

• Основание (a = 4 \cdot 3^{3/4}),
• Боковые стороны (b = 8 \cdot 3^{1/4}).

Для равнобедренного треугольника с углом при основании 30° площадь можно найти по формуле S = (a^2 * sinθ) / 2, где а - основание треугольника, а θ - угол при основании.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то его высота h будет равна h = a sinθ. Таким образом, площадь треугольника можно выразить как S = (a^2 sinθ^2) / 2.

Из условия задачи у нас известно, что площадь равна 72√3, а угол при основании равен 30°. Подставляем данные в формулу: 72√3 = (a^2 (sin30°)^2) / 2 72√3 = (a^2 (1/2)^2) / 2 72√3 = (a^2 1/4) / 2 72√3 = a^2 / 8 a^2 = 8 72√3 a^2 = 576√3 a = √(576√3) a = 24√3

Таким образом, сторона равнобедренного треугольника равна 24√3.