Угол параллелограмма равен 60°,, разность сторон равна 4 см,а большая диагональ равна14 см.Найдите меньшую...

Для начала найдем длины сторон параллелограмма. Поскольку у параллелограмма противоположные стороны равны, то одна из сторон будет равна 14 см (большая диагональ). Значит, другая сторона будет равна 14 - 4 = 10 см.

Теперь найдем меньшую диагональ. Для этого воспользуемся формулой для нахождения диагоналей в параллелограмме: d1^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(угол), где d1 - меньшая диагональ, a и b - стороны параллелограмма, угол - 60°.

Подставляем известные значения: d1^2 = 10^2 + 14^2 - 2 10 14 cos(60°), d1^2 = 100 + 196 - 280 0.5, d1^2 = 100 + 196 - 140, d1^2 = 156, d1 ≈ 12.49 см.

Теперь найдем площадь параллелограмма. Для этого воспользуемся формулой: S = a h, где a - любая сторона параллелограмма, h - высота, которую можно найти, используя меньшую диагональ и угол: h = d1 sin(угол) = 12.49 * sin(60°) ≈ 10.83 см.

Подставляем значения: S = 10 * 10.83 ≈ 108.3 см^2.

Итак, меньшая диагональ параллелограмма составляет примерно 12.49 см, а площадь параллелограмма равна примерно 108.3 см^2.

Давайте решим задачу шаг за шагом, используя известные свойства параллелограммов и тригонометрию.

1. Обозначим стороны и углы параллелограмма:

   • Пусть стороны параллелограмма будут ( a ) и ( b ), и ( a > b ).
   • Один из углов равен 60°, пусть это будет угол между сторонами ( a ) и ( b ).

2. Используем известные данные:

   • Разность сторон: ( a - b = 4 ) см.
   • Большая диагональ: ( d_1 = 14 ) см.
   • Угол между сторонами: ( \alpha = 60° ).

3. Формула для диагонали параллелограмма: Для диагоналей параллелограмма существует формула: ( d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(\alpha)} ).

   Подставим известные значения в формулу для ( d_1 ): [ 14 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(60°)} ] [ 14 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cdot \frac{1}{2}} ] [ 14 = \sqrt{a^2 + b^2 + ab} ] Возведем обе стороны в квадрат: [ 196 = a^2 + b^2 + ab ]

4. Используем разность сторон: [ a = b + 4 ] Подставим ( a ) в уравнение: [ 196 = (b + 4)^2 + b^2 + (b + 4)b ] Раскроем скобки: [ 196 = b^2 + 8b + 16 + b^2 + b^2 + 4b ] [ 196 = 3b^2 + 12b + 16 ] Перенесем все влево: [ 3b^2 + 12b + 16 - 196 = 0 ] [ 3b^2 + 12b - 180 = 0 ] Разделим уравнение на 3: [ b^2 + 4b - 60 = 0 ]

5. Решим квадратное уравнение: Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта: [ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256 ] Корни уравнения: [ b = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-4 \pm 16}{2} ] Два решения: [ b_1 = \frac{12}{2} = 6 ] [ b_2 = \frac{-20}{2} = -10 \quad (\text{не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной}) ] Значит, ( b = 6 ) см.

6. Найдем ( a ): [ a = b + 4 = 6 + 4 = 10 \text{ см} ]

7. Найдем меньшую диагональ ( d_2 ): Формула для другой диагонали: [ d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)} ] Подставим значения: [ d_2 = \sqrt{10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}} ] [ d_2 = \sqrt{100 + 36 - 60} ] [ d_2 = \sqrt{76} \approx 8.72 \text{ см} ]

8. Найдем площадь параллелограмма: Формула площади параллелограмма: [ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) ] Подставим значения: [ S = 10 \cdot 6 \cdot \sin(60°) ] [ S = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ S = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2 ]

Таким образом, меньшая диагональ параллелограмма равна примерно 8.72 см, а площадь составляет примерно 51.96 см².