Угол между векторами a и b равен 150°, |a|=3, |b|=2√3. Найдите скалярное произведение векторов m=a-2b,...

Для начала найдем косинус угла между векторами a и b, используя формулу для скалярного произведения двух векторов: cos(150°) = (a b) / (|a| |b|)

cos(150°) = -√3 / 2

Теперь найдем вектор m=a-2b: m = a - 2b m = (3, 0) - 2(0, 2√3) m = (3, 0) - (0, 4√3) m = (3, -4√3)

Аналогично, найдем вектор n=3a+4b: n = 3a + 4b n = 3(3, 0) + 4(0, 2√3) n = (9, 0) + (0, 8√3) n = (9, 8√3)

Теперь найдем скалярное произведение векторов m и n: m n = (3)(9) + (-4√3)(8√3) m n = 27 - 96 m * n = -69

Итак, скалярное произведение векторов m и n равно -69.

Для нахождения скалярного произведения векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ), где ( \mathbf{m} = \mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) и ( \mathbf{n} = 3\mathbf{a} + 4\mathbf{b} ), начнем с основных формул и свойств векторов.

1. Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) можно вычислить по формуле: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta ] где ( \theta ) — угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), который равен 150°. Тогда: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -9 ]

2. Теперь выразим скалярное произведение ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} ): [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a} + 4\mathbf{b}) ] Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения: [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{a} \cdot 3\mathbf{a} + \mathbf{a} \cdot 4\mathbf{b} - 2\mathbf{b} \cdot 3\mathbf{a} - 2\mathbf{b} \cdot 4\mathbf{b} ] Заметим, что ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ), поэтому: [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) + 4(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - 6(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) - 8(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) ] Подставляем известные значения: [ |\mathbf{a}|^2 = 3^2 = 9, \quad |\mathbf{b}|^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12, \quad \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -9 ] Тогда: [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 9 + 4 \cdot (-9) - 6 \cdot (-9) - 8 \cdot 12 ] [ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 27 - 36 + 54 - 96 = -51 ]

Итак, скалярное произведение векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) равно -51.