Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, AD = CE.а)Докажите,что треугольник DBE равнобедренный....

Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ), который является равнобедренным с основанием ( AC ). Пусть ( AD = CE ), где точки ( D ) и ( E ) лежат на сторонах ( AB ) и ( BC ) соответственно. Рассмотрим каждый из пунктов задачи по отдельности.

а) Доказать, что треугольник ( \triangle DBE ) равнобедренный.

1. Анализ геометрической ситуации:

   • Треугольник ( \triangle ABC ) равнобедренный, значит, ( AB = BC ).
   • Условие ( AD = CE ) означает, что отрезки на сторонах ( AB ) и ( BC ) равны.

2. Рассмотрим треугольник ( \triangle DBE ):

   • Сторона ( DB ) является частью стороны ( AB ).
   • Сторона ( BE ) является частью стороны ( BC ).

3. Доказательство равенства сторон ( DB ) и ( BE ):

   • В треугольнике ( \triangle ABC ) стороны ( AB ) и ( BC ) равны (( AB = BC )).
   • Уменьшая обе стороны ( AB ) и ( BC ) на равные отрезки ( AD ) и ( CE ) соответственно, получаем: [ DB = AB - AD, \quad BE = BC - CE. ]
   • Так как ( AB = BC ) и ( AD = CE ), то: [ DB = BE. ]

4. Вывод:

   • В треугольнике ( \triangle DBE ) две стороны ( DB ) и ( BE ) равны.
   • Следовательно, ( \triangle DBE ) равнобедренный.

б) Найти угол ( \angle BDE ), если ( \angle BEC = 115^\circ ).

1. Рассмотрим угол ( \angle BEC ):

   • Угол ( \angle BEC ) является внешним углом для треугольника ( \triangle DBE ).
   • По свойству внешнего угла треугольника: [ \angle BEC = \angle BDE + \angle DBE. ]
   • Так как треугольник ( \triangle DBE ) равнобедренный (( DB = BE )), то углы при основании равны: [ \angle DBE = \angle DEB. ]

2. Обозначим углы:

   • Пусть ( \angle DBE = \angle DEB = x ).
   • Тогда ( \angle BDE = 180^\circ - 2x ) (углы треугольника в сумме дают ( 180^\circ )).

3. Используем значение ( \angle BEC = 115^\circ ):

   • Подставляем в уравнение для внешнего угла: [ \angle BEC = \angle BDE + \angle DBE. ] Получаем: [ 115^\circ = (180^\circ - 2x) + x. ]
   • Упростим уравнение: [ 115^\circ = 180^\circ - x. ]
   • Выразим ( x ): [ x = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ. ]

4. Найдём угол ( \angle BDE ):

   • Подставляем ( x = 65^\circ ) в выражение для ( \angle BDE ): [ \angle BDE = 180^\circ - 2x = 180^\circ - 2 \cdot 65^\circ = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ. ]

Ответ:

а) Треугольник ( \triangle DBE ) равнобедренный.

б) Угол ( \angle BDE = 50^\circ ).

Чтобы решить задачу, начнем с обозначений и данных.

1. Постановка задачи: Дано равнобедренный треугольник ( ABC ) с основанием ( AC ) и равными отрезками ( AD = CE ). Нам нужно доказать, что треугольник ( DBE ) равнобедренный, а затем найти угол ( BDE ), если угол ( BEC = 115^\circ ).

Часть а) Доказательство, что треугольник ( DBE ) равнобедренный

Рассмотрим треугольник ( ABC ). Поскольку он равнобедренный, то углы при основании равны: ( \angle ABC = \angle ACB ).

Теперь рассмотрим точки ( D ) и ( E ):

• Поскольку ( AD = CE ), у нас есть два равных отрезка, которые соединяют точки ( A ) и ( C ) с точками ( D ) и ( E ) соответственно.

Теперь, чтобы показать, что треугольник ( DBE ) равнобедренный, нам нужно доказать, что ( DB = DE ).

Рассмотрим треугольник ( ADB ) и треугольник ( CEB ):

• Угол ( ADB ) равен углу ( CEB ) (так как они вертикальные углы).
• Угол ( ABD = ABC ) (так как ( ABC ) — равнобедренный треугольник).
• ( AD = CE ) (по условию).

Согласно теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), мы можем утверждать, что треугольники ( ADB ) и ( CEB ) равны, то есть: [ \triangle ADB \cong \triangle CEB ]

Следовательно, ( DB = DE ). Это означает, что треугольник ( DBE ) является равнобедренным, так как у него есть две равные стороны.

Часть б) Нахождение угла ( BDE )

Теперь, зная, что треугольник ( DBE ) равнобедренный, мы можем использовать это свойство для нахождения угла ( BDE ).

Поскольку ( DB = DE ), углы при основании равны, т.е. ( \angle BDE = \angle BED ).

Обозначим угол ( BDE = x ). Тогда угол ( BED ) также равен ( x ).

Сумма углов в треугольнике ( BEC ) равна ( 180^\circ ): [ \angle BEC + \angle BED + \angle CBE = 180^\circ ]

Подставим известные углы:

• ( \angle BEC = 115^\circ )
• ( \angle CBE = \angle ABC )

Так как треугольник ( ABC ) равнобедренный, то: [ \angle ABC = \angle ACB ] Обозначим ( \angle ABC = \angle ACB = y ).

Итак, у нас есть: [ 115^\circ + x + y = 180^\circ ]

Теперь мы знаем, что ( y = 180^\circ - 115^\circ - x ): [ y = 65^\circ - x ]

Так как ( \angle ABC + \angle ACB + \angle BEC = 180^\circ ): [ 2y + 115^\circ = 180^\circ ] [ 2y = 65^\circ ] [ y = 32.5^\circ ]

Теперь подставим ( y ) обратно в уравнение: [ 115^\circ + x + 32.5^\circ = 180^\circ ] [ x = 180^\circ - 115^\circ - 32.5^\circ ] [ x = 32.5^\circ ]

Таким образом, угол ( BDE = 32.5^\circ ).

Ответ

а) Треугольник ( DBE ) равнобедренный.
б) Угол ( BDE = 32.5^\circ ).

а) Чтобы доказать, что треугольник DBE равнобедренный, заметим, что AD = CE и AB = AC (так как треугольник ABC равнобедренный). Углы BAC и ABC равны, так как ABC равнобедренный. Следовательно, углы ADB и CEB равны, что означает, что треугольник DBE также является равнобедренным.

б) Угол BEC равен 115 градусов, и угол ABE равен углу ACB, который, в свою очередь, равен углу BAE. Поскольку сумма углов в треугольнике BEC равна 180 градусов, угол BDE можно найти следующим образом:

Угол BDE = 180° - угол BEC - угол ABE.

Так как треугольник DBE равнобедренный, угол ABE равен углу ADB. Углы ABE и ADB равны половине угла BEC, то есть:

Угол ABE = (180° - 115°) / 2 = 32.5°.

Теперь можем найти угол BDE:

Угол BDE = 180° - 115° - 32.5° = 32.5°.

Таким образом, угол BDE равен 32.5 градусов.