Точки Е и H делят окружность с центром О на дуги EAH и EKH так , что дуга ЕKH на 80 градусов меньше...

Угол EКА = 40 градусов, угол EАН = 60 градусов, угол EКН = 20 градусов.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами окружностей и углов, образуемых дугами на окружности.

Поскольку дуга EKH на 80 градусов меньше дуги EAH, то угол EKH = угол EAH - 80 градусов. Но так как угол в центре окружности в два раза больше угла на окружности, то угол EAH равен 80 градусов. Следовательно, угол EKH = 0 градусов.

Поскольку EA - диаметр окружности, то угол EKA = 90 градусов (угол между диаметром и хордой, проведенной из центра окружности).

Учитывая, что угол EKH = 0 градусов, угол EKN = 0 градусов.

Итак, мы получили: Угол EKA = 90 градусов, Угол EAH = 80 градусов, Угол EKN = 0 градусов.

Для решения задачи начнем с анализа данных и определения необходимых углов:

1. Дуга ЕАН и дуга ЕКН: Мы знаем, что дуга ЕКН на 80 градусов меньше дуги ЕАН. Пусть ( \alpha ) обозначает величину дуги ЕАН. Тогда дуга ЕКН будет: ( \alpha - 80^\circ ).

2. Соотношение дуг окружности: Поскольку ЕА является диаметром окружности, дуга ЕАН вместе с дугой ЕКН образуют полный круг, который составляет 360 градусов. Поэтому можем записать уравнение: [ \alpha + (\alpha - 80^\circ) = 360^\circ ] Упростим это уравнение: [ 2\alpha - 80^\circ = 360^\circ ] [ 2\alpha = 440^\circ ] [ \alpha = 220^\circ ] Таким образом, дуга ЕАН равна ( 220^\circ ), а дуга ЕКН равна: [ 220^\circ - 80^\circ = 140^\circ ]

3. Найдем величины углов:

   • Угол ЕКА (центральный угол, соответствующий дуге ЕКН): Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Таким образом, угол ЕКА равен: [ \angle EKA = 140^\circ ]

   • Угол ЕАН (центральный угол, соответствующий дуге ЕАН): Поскольку дуга ЕАН равна 220 градусов, центральный угол, соответствующий этой дуге, будет равен: [ \angle EAN = 220^\circ ]

   • Угол ЕКН (вписанный угол, опирающийся на дугу ЕАН): Вписанный угол, опирающийся на дугу окружности, равен половине величины этой дуги. Поскольку дуга ЕАН равна ( 220^\circ ), то угол ЕКН будет равен: [ \angle EKN = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ ]

Итак, в итоге мы получаем следующие значения углов:

• Угол ЕКА = ( 140^\circ )
• Угол ЕАН = ( 220^\circ )
• Угол ЕКН = ( 110^\circ )

Эти значения соответствуют условиям задачи и удовлетворяют всем геометрическим соотношениям.